背景知识

皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)

ρij=ρ(Xi,Xj)=cov(Xi,Xj)D(Xi)D(Xj)\begin{aligned} \rho_{ij} &= \rho \left( \mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j \right) \\ &= \frac{cov \left( \mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j \right)} {\sqrt{D(\mathbf{X}_i)} \sqrt{D(\mathbf{X}_j)}} \\ \end{aligned} ρij=ρ(Xi,Xj)=D(Xi)D(Xj)cov(Xi,Xj)

肯德尔和谐系数(Kendall’s W)

Kendall’s W解决的原始问题是在不同人对多个事物进行评分时, 如何对这些人评分结果的一致性进行评价.

假设存在nnn件物体, 并由mmm个不同的人进行评分或排序, 且第jjj个人对第iii件物体的评分为rijr_{ij}rij(在该问题中, 每个评分实际表示的是排序, 为1到n之间的整数且不重复), 则这些评分可表示为
R={rij}n×m\mathbf{R}=\{ r_{ij} \}_{n \times m}R={rij}n×m

物体iii的总分为
Ri=∑j=1mrijR_i=\sum_{j=1}^m r_{ij}Ri=j=1∑mrij

所有物体的平均得分为
Rˉ=1n∑i=1nRi=1n∑i=1n∑j=1mrij=1n∑j=1mn(n+1)2=m(n+1)2\begin{aligned} \bar{R} &=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n R_i \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m r_{ij} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^m \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{m(n+1)}{2} \end{aligned} Rˉ=n1i=1∑nRi=n1i=1∑nj=1∑mrij=n1j=1∑m2n(n+1)=2m(n+1)

所有物体得分的方差之和为S=∑i=1n(Ri−Rˉ)2S=\sum_{i=1}^n \left( R_i -\bar{R} \right)^2S=∑i=1n(Ri−Rˉ)2, 则Kendall’s W定义为
W=12Sm2(n3−n)W=\frac{12S}{m^2 (n^3-n)}W=m2(n3−n)12S
其中m2(n3−n)12\frac{m^2 (n^3-n)}{12}12m2(n3−n)表示SSS可能出现的最大值, 当且仅当所有人对同一个物体的评分一致时(即评分一致)得到, 而最小值则在Ri=RˉR_i = \bar{R}Ri=Rˉ时得到.
max⁡S=∑i=1n(mi−Rˉ)2=∑i=1n[m2i2−m2i(n+1)+m2(n+1)24]=m2n(n+1)⋅2n+16−m2n(n+1)⋅n+14=m2n(n+1)⋅n−112=m2(n3−n)12\begin{aligned} \max{S} &= \sum_{i=1}^n \left( mi-\bar{R} \right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left[ m^2 i^2 - m^2 i (n+1) + \frac{m^2 (n+1)^2}{4} \right] \\ &= m^2 n (n+1) \cdot \frac{2n+1}{6} - m^2 n (n+1) \cdot \frac{n+1}{4} \\ &= m^2 n (n+1) \cdot \frac{n-1}{12} \\ &= \frac{m^2(n^3-n)}{12} \end{aligned} maxS=i=1∑n(mi−Rˉ)2=i=1∑n[m2i2−m2i(n+1)+4m2(n+1)2]=m2n(n+1)⋅62n+1−m2n(n+1)⋅4n+1=m2n(n+1)⋅12n−1=12m2(n3−n)
使得WWW的范围缩小至[0,1]\left[0, 1\right][0,1].

fMRI数据

功能磁共振成像数据的基本元素为体素的时间序列Xi=[xi1,xi2,⋯ ,xiT]T\mathbf{X}_i=\left[x_{i1}, x_{i2}, \cdots, x_{iT} \right]^TXi=[xi1,xi2,⋯,xiT]T, 则一个被试的全脑数据可表示为
X=[X1,X2,⋯ ,XR]T=[x11x12⋯x1Tx21x22⋯x2T⋮⋮⋱⋮xR1xR2⋯xRT]R×T\begin{aligned} \mathbf{X} &=\left[\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \cdots, \mathbf{X}_{R} \right]^T \\ &= \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1T} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{R1} & x_{R2} & \cdots & x_{RT} \end{matrix} \right]_{R \times T} \end{aligned} X=[X1,X2,⋯,XR]T=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xR1x12x22⋮xR2⋯⋯⋱⋯x1Tx2T⋮xRT⎦⎥⎥⎥⎤R×T
其中R=W×H×DR=W \times H \times DR=W×H×D表示体素的数量, W,H,DW, H, DW,H,D分别表示脑影像数据在三个维度上的大小, TTT表示时间序列的长度, Xr∈RT\mathbf{X}_r \in \mathbb{R}^TXr∈RT表示第RRR个体素的时间序列.

根据AAL(Anatominal Atlas Label)模版, 全脑可分为116个脑区, 即将所有体素划分至116个集合中
ROIi={j1,j2,⋯ ,jRi}i=1,2,⋯ ,116ROI_i=\{ j_1, j_2, \cdots, j_{R_i} \} \quad i=1,2,\cdots,116ROIi={j1,j2,⋯,jRi}i=1,2,⋯,116
其中, RiR_iRi表示第i个脑区包含的体素数量.

功能连接

功能连接的计算步骤如下

计算各脑区的平均时间序列
Xˉi=1Ri∑j∈ROIiXj\mathbf{\bar{X}}_i = \frac{1}{R_i} \sum_{j \in ROI_i} \mathbf{X}_jXˉi=Ri1j∈ROIi∑Xj
计算两个脑区之间的Pearson相关系数
ρij=ρ(Xˉi,Xˉj)=cov(Xˉi,Xˉj)D(Xˉi)D(Xˉj)\begin{aligned} \rho_{ij} &= \rho \left( \bar{\mathbf{X}}_i, \bar{\mathbf{X}}_j \right) \\ &= \frac{cov \left( \bar{\mathbf{X}}_i, \bar{\mathbf{X}}_j \right)} {\sqrt{D(\bar{\mathbf{X}}_i)} \sqrt{D(\bar{\mathbf{X}}_j)}} \\ \end{aligned} ρij=ρ(Xˉi,Xˉj)=D(Xˉi)D(Xˉj)cov(Xˉi,Xˉj)

由于ρ(Xˉi,Xˉj)=ρ(α^iXi,α^jXj)\rho \left( \bar{\mathbf{X}}_i, \bar{\mathbf{X}}_j \right)= \rho \left(\boldsymbol{\hat{\alpha}}_i \mathbf{X}_i, \boldsymbol{\hat{\alpha}}_j \mathbf{X}_j \right)ρ(Xˉi,Xˉj)=ρ(α^iXi,α^jXj), 其中α^i\boldsymbol{\hat{\alpha}}_iα^i为长度为RiR_iRi, 所有元素为1Ri\frac{1}{R_i}Ri1的向量. 因此有
ρij=ρ(Xˉi,Xˉj)=ρ(αiXi,αjXj)=α^iTΣXiXjα^jα^iTΣXiXiα^iα^jTΣXjXjα^j=αiTΣXiXjαjαiTΣXiXiαiαjTΣXjXjαj\begin{aligned} \rho_{ij} &= \rho \left( \bar{\mathbf{X}}_i, \bar{\mathbf{X}}_j \right) \\ &= \rho \left( \boldsymbol{\alpha}_i \mathbf{X}_i, \boldsymbol{\alpha}_j \mathbf{X}_j \right) \\ &= \frac{\boldsymbol{\hat{\alpha}}_i^T \Sigma_{\mathbf{X}_i \mathbf{X}_j} \boldsymbol{\hat{\alpha}}_j} {\sqrt{\boldsymbol{\hat{\alpha}}_i^T \Sigma_{\mathbf{X}_i \mathbf{X}_i} \boldsymbol{\hat{\alpha}}_i} \sqrt{\boldsymbol{\hat{\alpha}}_j^T \Sigma_{\mathbf{X}_j \mathbf{X}_j} \boldsymbol{\hat{\alpha}}_j}} \\ &= \frac{\boldsymbol{\alpha}_i^T \Sigma_{\mathbf{X}_i \mathbf{X}_j} \boldsymbol{\alpha}_j} {\sqrt{\boldsymbol{\alpha}_i^T \Sigma_{\mathbf{X}_i \mathbf{X}_i} \boldsymbol{\alpha}_i} \sqrt{\boldsymbol{\alpha}_j^T \Sigma_{\mathbf{X}_j \mathbf{X}_j} \boldsymbol{\alpha}_j}} \\ \end{aligned} ρij=ρ(Xˉi,Xˉj)=ρ(αiXi,αjXj)=α^iTΣXiXiα^iα^jTΣXjXjα^jα^iTΣXiXjα^j=αiTΣXiXiαiαjTΣXjXjαjαiTΣXiXjαj
其中ΣXiXj\Sigma_{\mathbf{X}_i \mathbf{X}_j}ΣXiXj表示随机向量Xi\mathbf{X}_iXi与Xj\mathbf{X}_jXj的协方差矩阵, αi\boldsymbol{\alpha}_iαi与αj\boldsymbol{\alpha}_jαj分别表示所有元素为1, 长度为Ri,RjR_i, R_jRi,Rj的向量.

局部一致性(Regional Homogeneity)(此章节有误)

局部一致性的计算过程如下

选取中心体素Xi=[xi1,xi2,⋯ ,xiT]T\mathbf{X}_i=[x_{i1}, x_{i2}, \cdots, x_{iT}]^TXi=[xi1,xi2,⋯,xiT]T
以体素Xi\mathbf{X}_iXi为中心选取周围的体素(在DPARSF standard processing pipeline中, 为相邻的K=27K=27K=27个体素)
X~i=[Xi1,Xi2,⋯ ,XiK]T=[xi11xi12⋯xi1Txi21xi22⋯xi1T⋮⋮⋱⋮xiK1xiK2⋯xiKT]\begin{aligned} \widetilde{\mathbf{X}}_i &=\left[ \mathbf{X}_{i_1}, \mathbf{X}_{i_2}, \cdots, \mathbf{X}_{i_{K}} \right]^T \\ &= \left[ \begin{matrix} x_{i_1 1} & x_{i_1 2} & \cdots & x_{i_1 T} \\ x_{i_2 1} & x_{i_2 2} & \cdots & x_{i_1 T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{i_{K} 1} & x_{i_{K} 2} & \cdots & x_{i_{K} T} \end{matrix} \right] \end{aligned} Xi=[Xi1,Xi2,⋯,XiK]T=⎣⎢⎢⎢⎡xi11xi21⋮xiK1xi12xi22⋮xiK2⋯⋯⋱⋯xi1Txi1T⋮xiKT⎦⎥⎥⎥⎤
根据Kendall’s W的计算, 得到该体素的局部一致性
(1) 计算所有时间点的和
X~itS=∑j=1Kxijtt=1,2,⋯ ,T\widetilde{\mathbf{X}}_{it}^S=\sum_{j=1}^{K} x_{i_j t} \quad t=1,2, \cdots, TXitS=j=1∑Kxijtt=1,2,⋯,T
也可以表示成为矩阵与向量的形式
X~iS=∑j=1KXij=αX~i\begin{aligned} \widetilde{\mathbf{X}}_i^S &= \sum_{j=1}^{K} \mathbf{X}_{i_j} \\ &= \boldsymbol{\alpha} \widetilde{\mathbf{X}}_i \end{aligned} XiS=j=1∑KXij=αXi
其中α=[1,1,⋯ ,1]\boldsymbol{\alpha}=[1, 1, \cdots, 1]α=[1,1,⋯,1]是维数为1×271 \times 271×27的向量.
(2) 计算所有体素的平均值
Xˉi=1T∑j=1K∑t=1Txijt=1T∑t=1TX~itS\begin{aligned} \bar{\mathbf{X}}_i &= \frac{1}{T} \sum_{j=1}^{K} \sum_{t=1}^T x_{i_j t} \\ &= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \widetilde{\mathbf{X}}_{it}^S \end{aligned}Xˉi=T1j=1∑Kt=1∑Txijt=T1t=1∑TXitS
(3) 计算Kendall’s W
Wi=12SiK2(T3−T)W_i = \frac{12S_i}{K^2 (T^3 - T)}Wi=K2(T3−T)12Si
其中SSS表示所有时间序列和的方差
Si=D(X~iS)=D(αX~i)=∑j=1KD(Xij)=αTΣX~iX~iα\begin{aligned} S_i &= D(\widetilde{\mathbf{X}}_i^S ) = D(\boldsymbol{\alpha} \widetilde{\mathbf{X}}_i) \\ &= \sum_{j=1}^K D(\mathbf{X}_{i_j}) \\ &= \boldsymbol{\alpha}^T \Sigma_{\widetilde{\mathbf{X}}_i \widetilde{\mathbf{X}}_i} \boldsymbol{\alpha} \end{aligned} Si=D(XiS)=D(αXi)=j=1∑KD(Xij)=αTΣXiXiα
因此
Wi=12K2(T3−T)Si=12K2(T3−T)∑j=1KD(Xij)=12K2(T3−T)αTΣX~iX~iα\begin{aligned} W_i &= \frac{12}{K^2(T^3-T)} S_i \\ &= \frac{12}{K^2(T^3-T)} \sum_{j=1}^K D(\mathbf{X}_{i_j}) \\ &= \frac{12}{K^2(T^3-T)} \boldsymbol{\alpha}^T \Sigma_{\widetilde{\mathbf{X}}_i \widetilde{\mathbf{X}}_i} \boldsymbol{\alpha} \end{aligned} Wi=K2(T3−T)12Si=K2(T3−T)12j=1∑KD(Xij)=K2(T3−T)12αTΣXiXiα

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