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第一章作业

1. 证明下列Ο、Ω和Θ的性质

1) f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)

证明：充分性。若f=Ο(g)，则必然存在常数c >0 和n ，使得nn ，有f

1 0 0

c *g(n)。由于c 0，故g(n) 1/ c *f(n)，故g=Ω(f) 。

1 1 1

必要性。同理，若g=Ω(f)，则必然存在c >0 和n ，使得nn ，有g(n) c

2 0 0 2

*f(n). 由于c 0，故f(n) 1/ c *f(n)，故f=Ο(g)。

2 2

2) 若f=Θ (g)则g=Θ (f)

证明：若f=Θ (g)，则必然存在常数c >0 ，c >0 和n ，使得nn ，有c *g(n)

1 2 0 0 1

f(n) c *g(n)。由于c 0，c 0，f(n) c *g(n)可得g(n) 1/c *f(n)，同时，

2 1 2 1 1

f(n) c *g(n)，有g(n) 1/c *f(n)，即1/c *f(n) g(n)  1/c *f(n)，故g=Θ (f)。

2 2 2 1

3) Ο (f+g)= Ο (max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。

证明：设F(n)= Ο (f+g)，则存在c >0 ，和n ，使得nn ，有

1 1 1

F(n) c1 (f(n)+g(n))

= c f(n) + c g(n)

1 1

c *max{f,g}+ c *max{f,g}

1 1

=2 c *max{f,g}

所以，F(n)= Ο (max(f,g))，即Ο (f+g)= Ο (max(f,g))

对于Ω和Θ同理证明可以成立。

4) log(n!)= Θ(nlogn)

证明：

n n

由于log(n!)= log i log n =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn) 。

i 1 i 1

由于对所有的偶数n 有，

n n n

log(n!)= log i log i log n / 2 (n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2 。

i 1 i n / 2 i n / 2

当n4 ，(nlogn)/2-n/2(nlogn)/4，故可得n4 ，log(n!) (nlogn)/4，即log(n!)=

Ω(nlogn) 。

综合以上两点可得log(n!)= Θ(nlogn)

2. 设计一个算法，求给定n 个元素的第二大元素，并给出算法在最坏情况

下使用的比较次数。(复杂度至多为2n-3 )

算法：

Void findsecond(ElemType A[

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