空间坐标乘旋转矩阵_坐标变换(4)—旋转矩阵
1. 群
群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作
，运算记作
， 那么群可以记作
。群要求这个运算满足以下几个条件：封闭性:
.
结合律:
.
幺元:
逆:
2. special orthogonal group
定义参考坐标系(fix frame)为
，定义body frame为
，
在fixed frame
下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为
，
坐标系
的三个坐标轴，即基，
，同时
，满足以下条件，单位向量
2. 正交
，即
上面两个性质可以写成矩阵的形势，
此外，坐标系
的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如
，其中
表示叉乘。 在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个
矩阵
的三列为
时，我们可以求得矩阵的行列式值为，
所以，我们可以得到，
至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的
的矩阵统称为special orthogonal group
，即3维的特殊正交群，容易验证
符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量
，
和
具有相同的长度(2范数)。
3. 旋转矩阵的使用描述一个坐标系
改变向量或者坐标系的参考坐标系
旋转一个坐标系或者向量
3.1 描述坐标系
在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，
考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，
而空间中的同一点
，在三个坐标系中的描述分别为，
3.2 改变参考坐标系
假设旋转矩阵
，描述了
相对于
的旋转，
描述了
相对于
的旋转，则
为
相对于
的旋转，
向量
在
坐标系的向量为
，则在
坐标系下
为，
3.3 旋转一个坐标系或者向量
在坐标系
下旋转一个向量
(同一坐标系下)，会产生另外一个向量
，
而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为
，body frame为
，
绕
轴转90度生成
，
表示
在
下的描述，而
仅表示某一旋转矩阵(绕着
转30度),下面借助matlab来进行可视化，
3.3.1 左乘
R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 = R * R_sb
tranimate(R_1)
R_sb =
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
R =
1.0000 0 0
0 0.8660 -0.5000
0 0.5000 0.8660
R_1 =
0 -1.0000 0
0.8660 0 -0.5000
0.5000 0 0.8660
最终结果，
由上面两图可以看到，
左乘
，是顺着原来
中的
轴旋转了30度。因此左乘，
是在
坐标系下的描述。
3.3.2 右乘
R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 = R_sb * R
tranimate(R_1)
R_sb =
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
R =
1.0000 0 0
0 0.8660 -0.5000
0 0.5000 0.8660
R_1 =
0 -0.8660 0.5000
1.0000 0 0
0 0.5000 0.8660
最终结果，
由上面两图可以看到，
右乘
，是顺着
中的
轴旋转了30度。右乘，
是在
坐标系下描述。 其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是
在
中的描述，右乘相当于，
此时，矩阵的乘积的每一列都是
所对应基的线性组合，所以
此时的意义肯定是在
坐标系下描述。 同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是
在
中的描述，此时
是参考坐标系，
此时，矩阵的乘积的每一行都是
所对应基的线性组合，所以
此时的意义肯定是在
坐标系下描述。
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