【剑指offer】剪绳子（动态规划）

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m，n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0] * k[1] * …* k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积为18。

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剑指offer P96

思路

1、动态规划
我们定义 f(n) 表示把长度为n的绳子剪成若干段之后各段长度之积的最大值。第一次，我们有n-1个选择可以剪，那么我们可得 f(n) = max(f(i)*f(n-i))，其中 0<i<n 。
从上至下分析：
可得到递推公式，即动态规划转移方程为 f(n) = max(f(i)*f(n-i))，只要我们能够得到所有 f(i) 和 f(n-i) 的最大值，即可得到 f(n) 的最大值。
从下至上求解：
从上至下求解，将会产生大量重复的子问题，我们的求解采取从下至上的求解方式，这样可以保证在求解 f(n) 时，全部的 i < n 的 f(i) 的值已经有最大值，避免重复计算。

具体思路：
当长度为2时，必须切1下，故返回1
当长度为3时，切1下，分为1和2，故返回2
当长度大于3时，对每个切分点进行遍历，取最大值保存，向上动态规划
最终可得结果 f(n)

2、贪心算法
大于4的部分，尽可能多切为3的段
剩余的4，切成2个2，或者不切

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int DPmaxProduct(int length){if(length < 2){return 0;}if(length == 2){return 1;}if(length == 3){return 2;}int ans[length+1];int max = 0;ans[0] = 0;ans[1] = 1;ans[2] = 2;ans[3] = 3;for(int i = 4; i <= length; i++){max = 0;for(int j = 1; j <= i/2; j++){int temp = ans[j] * ans[i-j];if(max < temp){max = temp;}}ans[i] = max;}return ans[length];
}int GreedymaxProduct(int length){if(length < 2){return 0;}if(length == 2){return 1;}if(length == 3){return 2;}int times3 = length/3;if(length - times3*3 == 1){times3--;}return (int)(pow(3, times3)*(length - times3*3));
}int main()
{int a = 20;cout << DPmaxProduct(a) << endl;cout << GreedymaxProduct(a) << endl;return 0;
}

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