2021牛客多校6 - Gambling Monster(分治FWT优化期望dp)

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题目大意：有一个转盘，每次转动得到 0∼n−10\sim n−10∼n−1（nnn 是 2 的幂）的概率分别给出。最开始你有一个数 x=0x=0x=0，每次转动转盘得到一个数 yyy，如果 x⊕y>xx\oplus y>xx⊕y>x，就令 x=x⊕yx=x\oplus yx=x⊕y，否则 xxx 不变。求使 x=n−1x=n-1x=n−1，期望转动转盘的次数。

题目分析：

求期望，考虑倒着的概率 dpdpdp

设 P[i]P[i]P[i] 为转到 iii 的概率，设 E[i]E[i]E[i] 代表当前数字为 iii，到达 n−1n-1n−1 的期望步数，显然 E[n−1]=0E[n-1]=0E[n−1]=0，答案是 E[0]E[0]E[0]

设 S[x]S[x]S[x] 代表转动一次转盘后 xxx 发生变化的概率（即变大）的概率，不难得到 S[x]=∑x⊕y>xP[y]S[x]=\sum\limits_{x\oplus y>x}P[y]S[x]=x⊕y>x∑P[y]

那么 EEE 的方程分成两个部分也不难写出：E[x]=(E[x]+1)∗(1−S[x])+∑x⊕y=zx<z(E[z]+1)∗P[y]E[x]=(E[x]+1)*(1-S[x])+\sum\limits_{\overset{x<z}{x\oplus y=z}}(E[z]+1)*P[y]E[x]=(E[x]+1)∗(1−S[x])+x⊕y=zx<z∑(E[z]+1)∗P[y]

发现左右两侧都有 E[x]E[x]E[x]，所以移一下项得到：
E[x]=(1−S[x])+∑x⊕y=zx<z(E[z]+1)∗P[y]S[x]E[x]=\frac{(1-S[x])+\sum\limits_{\overset{x<z}{x\oplus y=z}}(E[z]+1)*P[y]}{S[x]}E[x]=S[x](1−S[x])+x⊕y=zx<z∑(E[z]+1)∗P[y]

对于 S[x]S[x]S[x]，我们发现只需要找到 yyy 在二进制下最高位的 111，判断一下在 xxx 在二进制下是否为 000 就可以确定是否存在贡献，这个可以 O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn) 预处理出来

对于 ∑x⊕y=zx<z(E[z]+1)∗P[y]\sum\limits_{\overset{x<z}{x\oplus y=z}}(E[z]+1)*P[y]x⊕y=zx<z∑(E[z]+1)∗P[y]，不难发现是异或卷积的形式，又因为期望 dpdpdp 是倒着推的，所以后面的答案会对前面的答案具有贡献，这个可以用 cdqcdqcdq 分治套 FWTFWTFWT 来解决

需要注意的是，在分治的过程中后面的答案会影响前面的答案，所以我们需要先递归右子区间，然后再递归左子区间

最后就是如何确定公式中 yyy 的取值范围呢，如果每次都是取 0∼n−10\sim n-10∼n−1 的话肯定不行，通过分析不难发现，每次拆出来的左右区间形如：
[xxx0000]∼[xxx0111]+[xxx1000]∼[xxx1111][xxx0000]\sim[xxx0111]+[xxx1000]\sim[xxx1111][xxx0000]∼[xxx0111]+[xxx1000]∼[xxx1111]

我们上述式子中的 xxx 需要在左区间中取，zzz 需要在右区间中取，而 yyy 只需要满足 y=x⊕zy=x\oplus zy=x⊕z 即可，将上面的两段区间进行异或可以得到 y∈[1000,1111]y\in[1000,1111]y∈[1000,1111]，这个每次通过位运算求解即可，不难发现 yyy 和 zzz 的区间刚好是等阶的

代码：

// Problem: Gambling Monster
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11257/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
int n;
LL P[N],S[N],invS[N],E[N],tmp[20],a[N],b[N];
LL q_pow(LL a,LL b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) {ans=ans*a%mod;}a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}
LL inv(int x) {return q_pow(x,mod-2);
}
void FWTxor(LL *f,int x,int len)
{for(int mid=1;(mid<<1)<=len;mid<<=1){int R=mid<<1;for(int i=0;i<len;i+=R)for(int j=0;j<mid;j++){f[i+j]=(f[i+j]+f[i+j+mid])%mod;f[i+j+mid]=(f[i+j]-f[i+j+mid]+mod-f[i+j+mid]+mod)%mod;f[i+j]=f[i+j]*x%mod;f[i+j+mid]=f[i+j+mid]*x%mod;}}
}
void solve(int l,int r) {if(l==r) {E[l]=(E[l]+(1-S[l]+mod)*invS[l])%mod;return;}int mid=(l+r)>>1,len=mid-l+1,p=l^(mid+1);solve(mid+1,r);for(int i=0;i<len;i++) {a[i]=(E[i+mid+1]+1)%mod;b[i]=P[i+p];}FWTxor(a,1,len),FWTxor(b,1,len);for(int i=0;i<len;i++) {a[i]=a[i]*b[i]%mod;}FWTxor(a,(mod+1)>>1,len);for(int i=l;i<=mid;i++) {E[i]=(E[i]+a[i-l]*inv(S[i]))%mod;}solve(l,mid);
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--) {memset(tmp,0,sizeof(tmp));memset(S,0,sizeof(S));memset(E,0,sizeof(E));int sum=0;read(n);for(int i=0;i<n;i++) {read(P[i]);sum+=P[i];}sum=inv(sum);for(int i=0;i<n;i++) {P[i]=P[i]*sum%mod;}for(int i=0;i<n;i++) {for(int j=16;j>=0;j--) {if(i>>j&1) {tmp[j]=(tmp[j]+P[i])%mod;break;}}}for(int i=0;i<n;i++) {for(int j=0;j<=16;j++) {if(!(i>>j&1)) {S[i]=(S[i]+tmp[j])%mod;}}invS[i]=inv(S[i]);}solve(0,n-1);cout<<E[0]<<endl;}return 0;
}

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