An introduction to the Gromov-Hausdorff distance

一、Hausdorff距离定义

在数学中，Hausdorff 距离或 Hausdorff 度量，也称为 Pompeiu-Hausdorff 距离，测量度量空间的两个子集彼此之间的距离。它将度量空间的非空紧凑子集的集合转换为本身的度量空间。它以菲利克斯豪斯多夫和迪米特里庞培命名。

非正式地，如果任一集合的每个点都靠近另一集合的某个点，则两个集合在 Hausdorff 距离上是接近的。 Hausdorff 距离是对手在两个集合之一中选择一个点，然后您必须从该点前往另一个集合的对手可以迫使您行进的最长距离。换句话说，它是从一组中的点到另一组中最近点的所有距离中最大的。

　　假设有两组集合 $A={[a_1,\dots a_p]}, B={[b_1,\dots,b_q]}$ ,则这两个点集合之间的Hausdorff距离定义为

　 $H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A)) \;\; \;\; (1)$

其中,

　 $h(A,B)=max(a\in A) min(b\in B) \left \| a-b \right \|$ 　 (2)

　 $h(B,A)=max(a\in B) min(b\in A) \left \| a-b \right \|$ 　 (3)

　 $\left \| \cdot \right \|$ 是点集A和B点集间的距离范式(如: $L_2$ 或Euclidean距离,或 $L_1$ ， $L_\infty$ ).

以上讲的是什么意思？

这里专门讲清楚。先看看维基，给出如下图：

1 将原图的符号XY修正B和A，两个点集合 $A \left \{ { a_0, a_1, ... } \right \}$ 和 $B \left \{ b_0, b_1, b_2, ... \right \}$

注意，这里A集合是蓝线上点集，B集合是绿线上点集。

2 取A集合中的一点a0，计算a0到B集合中所有点的距离，保留最短的距离d0

图中表示，a0到B集合的距离，a1到B集合距离，都用红线标出。

3 遍历A集合中所有点，图中一共两点a0和a1，计算出d0和d1（图中红线）

比较所有的距离{ d0, d1... }，选出最长的距离d1-->h

4 这个最长的距离就是h，它是A→B的单向豪斯多夫距离，记为h( A, B )

对于A集合中任意一点a，我们可以确定，以点a为圆心，h为半径的圆内部必有B集合中的点

5 交换A集合和B集合的角色，计算B→A的单向豪斯多夫距离h( B, A )，选出h( A, B )和h( B, A )中最长的距离，就是A,B集合的双向豪斯多夫距离.

二、Hausdorff距离有什么用途？

这里给出一个实际案例：比如存在三种树叶，分别如下图，问哪几个树叶更接近？

可以将三种树叶重心重合，然后用取出边界，用Hausdorff距离比较。

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