P7108 移花接木(分类讨论&思维)

题意

给定一棵无限高度的满 a a a叉树。

给定两个操作。

1.删除一个结点及其子树。

2.将一个结点及其子树移到另一个结点。

求将满 a a a叉树变成高度为 h h h的满 b b b叉树的最小操作数。

思路

分类讨论。

1.当 a > b a>b a>b时，显然我们只需用操作1。

对于第一层需要删 a − b a-b a−b次，第二层需要删 ( a − b ) b (a-b)b (a−b)b次，依次类推，到第 1 1 1到第 h h h层共需删 ∑ i = 1 h ( a − b ) b i − 1 \sum\limits_{i=1}^h(a-b)b^{i-1} i=1∑h(a−b)bi−1

然后对于第 h + 1 h+1 h+1层的结点我们都需要删掉，操作 a b h ab^h abh次。

所以 a n s = a b h + ∑ i = 1 h ( a − b ) b i − 1 ans=ab^h+\sum\limits_{i=1}^h(a-b)b^{i-1} ans=abh+i=1∑h(a−b)bi−1，后面是等比数列求和。

a n s = a b h + ( a − b ) ( b h − 1 ) h − 1 ans=ab^h+\dfrac{(a-b)(b^h-1)}{h-1} ans=abh+h−1(a−b)(bh−1)

2.当 a ≤ b a\le b a≤b时。

考虑先补全第 1 1 1到第 h h h层，然后删掉第 h + 1 h+1 h+1层。

类似地，第一层需要补 ( b − a ) (b-a) (b−a)次，第二层需要补 ( b − a ) b (b-a)b (b−a)b。

共需要补 ( b − a ) ∑ i = 1 h b i − 1 (b-a)\sum\limits_{i=1}^hb^{i-1} (b−a)i=1∑hbi−1次。

同时要删掉第 h + 1 h+1 h+1层的，要操作 a b h ab^h abh次。

注意到，补全的操作可以从第 h + 1 h+1 h+1层来移动，所以我们只需取 m a x { a b h , ( b − a ) ∑ i = 1 h b i − 1 } = a b h max\{ab^h,(b-a)\sum\limits_{i=1}^hb^{i-1}\}=ab^h max{abh,(b−a)i=1∑hbi−1}=abh。

同时需要特判 b = 1 b=1 b=1 的情况，因为上面的两种情况的式子 b ≠ 1 b\ne1 b=1。

即第 1 1 1层到第 h h h层共需删 h ( a − 1 ) h(a-1) h(a−1)次。

第 h + 1 h+1 h+1层需要删 a a a次。

a n s = ( a − 1 ) h + a ans=(a-1)h+a ans=(a−1)h+a。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
ll ksm(ll a,ll n){ll s=1;while(n){if(n&1) s=s*a%mod;a=a*a%mod;n>>=1;}return s;
}
ll a,b,h;
int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&h);if(b==1) printf("%lld\n",((a-1)*h%mod+a)%mod);else if(a<=b) printf("%lld\n",a*ksm(b,h)%mod);else printf("%lld\n",(a*ksm(b,h)%mod+(a-b)*(ksm(b,h)-1)%mod*ksm(b-1,mod-2)%mod)%mod);}return 0;
}

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