前言

方向导数和梯度是多元函数微分学中两个抽象的概念，如果对它们没有深刻的理解，那么就会感觉晦涩难懂，今天我们来对二者进行一个总结。
在介绍方向导数和梯度之前，我们先回顾两个知识点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

一、空间曲线的切线与法平面

若空间曲线Γ\varGammaΓ的方程为
{x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t),t∈[α,β]\left\{ \begin{array}{l} x=\varphi \left( t \right) ,\\ y=\psi \left( t \right) ,\\ z=\omega \left( t \right) ,\\ \end{array} \right. t\in \left[ \alpha ,\beta \right] ⎩⎨⎧x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t),t∈[α,β]
点MMM处对应的参数为t0t_{0}t0
点MMM处的切向量为T→=(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0))\overrightarrow{T}=\left( \varphi '\left( t_0 \right) ,\psi '\left( t_0 \right) ,\omega '\left( t_0 \right) \right)T=(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0))
则曲线在点MMM处的切线方程为
x−x0φ′(t0)=y−y0ψ′(t0)=z−z0ω′(t0)\frac{x-x_0}{\varphi '\left( t_0 \right)}=\frac{y-y_0}{\psi '\left( t_0 \right)}=\frac{z-z_0}{\omega '\left( t_0 \right)} φ′(t0)x−x0=ψ′(t0)y−y0=ω′(t0)z−z0
法平面方程为
φ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0\varphi '\left( t_0 \right) \left( x-x_0 \right) +\psi '\left( t_0 \right) \left( y-y_0 \right) +\omega '\left( t_0 \right) \left( z-z_0 \right) =0 φ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0

若空间曲线Γ\varGammaΓ的方程为
{y=φ(x)z=ψ(x)\left\{ \begin{array}{l} y=\varphi \left( x \right)\\ z=\psi \left( x \right)\\ \end{array} \right. {y=φ(x)z=ψ(x)
我们取xxx为参数，则方程可以表示为
{x=xy=φ(x)z=ψ(x)\left\{ \begin{array}{l} x=x\\ y=\varphi \left( x \right)\\ z=\psi \left( x \right)\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=xy=φ(x)z=ψ(x)
点MMM处对应的参数为x0x_{0}x0
点MMM处的切向量为T→=(1,φ′(x0),ψ′(x0))\overrightarrow{T}=\left( 1,\varphi '\left( x_0 \right) ,\psi '\left( x_0 \right) \right)T=(1,φ′(x0),ψ′(x0))
则曲线在点MMM处的切线方程为
x−x01=y−y0φ′(x0)=z−z0ψ′(x0)\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\varphi '\left( x_0 \right)}=\frac{z-z_0}{\psi '\left( x_0 \right)} 1x−x0=φ′(x0)y−y0=ψ′(x0)z−z0
法平面方程为
(x−x0)+φ′(x0)(y−y0)+ψ′(x0)(z−z0)=0\left( x-x_0 \right) +\varphi '\left( x_0 \right) \left( y-y_0 \right) +\psi '\left( x_0 \right) \left( z-z_0 \right) =0 (x−x0)+φ′(x0)(y−y0)+ψ′(x0)(z−z0)=0

若空间曲线Γ\varGammaΓ的方程为
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0即一般方程
我们可以将方程变形为
{x=xF(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{ \begin{array}{l} x=x\\ F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=xF(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
先利用隐函数方程组求导的知识解出dydx\frac{dy}{dx}dxdy和dzdx\frac{dz}{dx}dxdz，我们就可以得到曲线在某点的切向量为T→=(dxdx,dydx,dzdx)\overrightarrow{T}=\left( \frac{dx}{dx},\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx} \right)T=(dxdx,dxdy,dxdz)
则曲线在点MMM处的切线方程为
x−x0dxdx=y−y0dydx=z−z0dzdx\frac{x-x_0}{\frac{dx}{dx}}=\frac{y-y_0}{\frac{dy}{dx}}=\frac{z-z_0}{\frac{dz}{dx}} dxdxx−x0=dxdyy−y0=dxdzz−z0
法平面方程为
dxdx(x−x0)+dydx(y−y0)+dzdx(z−z0)=0\frac{dx}{dx}\left( x-x_0 \right) +\frac{dy}{dx}\left( y-y_0 \right) +\frac{dz}{dx}\left( z-z_0 \right) =0 dxdx(x−x0)+dxdy(y−y0)+dxdz(z−z0)=0

二、曲面的切平面与法线

若曲面方程为F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，已知曲面上一点M(x0，y0,z0)M(x_{0}，y_{0},z_{0})M(x0，y0,z0)
垂直于曲面上该点切平面的法向量为
n→=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))\overrightarrow{n}=\left( F_x\left( x_0,y_0,z_0 \right) ,F_y\left( x_0,y_0,z_0 \right) ,F_z\left( x_0,y_0,z_0 \right) \right) n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
则点MMM处切平面的方程为
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0F_x\left( x_0,y_0,z_0 \right) \left( x-x_0 \right) +F_y\left( x_0,y_0,z_0 \right) \left( y-y_0 \right) +F_z\left( x_0,y_0,z_0 \right) \left( z-z_0 \right) =0 Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
法线的方程为
x−x0Fx(x0,y0,z0)=y−y0Fy(x0,y0,z0)=z−z0Fz(x0,y0,z0)\frac{x-x_0}{F_x\left( x_0,y_0,z_0 \right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left( x_0,y_0,z_0 \right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left( x_0,y_0,z_0 \right)} Fx(x0,y0,z0)x−x0=Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0

若曲面方程为z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，已知曲面上一点M(x0，y0,z0)M(x_{0}，y_{0},z_{0})M(x0，y0,z0)
令F(x,y,z)=f(x,y)−zF(x,y,z)=f(x,y)-zF(x,y,z)=f(x,y)−z
垂直于曲面上该点切平面的法向量为
n→=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\overrightarrow{n}=\left( f_x\left( x_0,y_0 \right) ,f_y\left( x_0,y_0 \right) ,-1 \right) n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)
则点MMM处切平面的方程为
fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0f_x\left( x_0,y_0 \right) \left( x-x_0 \right) +f_y\left( x_0,y_0 \right) \left( y-y_0 \right) -\left( z-z_0 \right) =0 fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0
法线方程为
x−x0fx(x0,y0)=y−y0fy(x0,y0)=z−z0−1\frac{x-x_0}{f_x\left( x_0,y_0 \right)}=\frac{y-y_0}{f_y\left( x_0,y_0 \right)}=\frac{z-z_0}{-1} fx(x0,y0)x−x0=fy(x0,y0)y−y0=−1z−z0

三、方向导数和梯度

如果函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点P0(x0,y0)P_{0}(x_{0},y_{0})P0(x0,y0)可微分，则函数在该点沿任意方向lll的方向导数存在
∂f∂l∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{\left( x_0,y_0 \right)}=f_x\left( x_0,y_0 \right) \cos \alpha +f_y\left( x_0,y_0 \right) \cos \beta ∂l∂f∣∣∣∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
其中cosαcos \alphacosα和cosβcos \betacosβ是方向lll上的方向余弦。

与方向导数有关联的概念是函数的梯度，首先要强调梯度是一个向量，那么梯度是一个怎样的向量呢？接下来一起看一下：
∂f∂l∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{\left( x_0,y_0 \right)}=f_x\left( x_0,y_0 \right) \cos \alpha +f_y\left( x_0,y_0 \right) \cos \beta ∂l∂f∣∣∣∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅(cos⁡α,cos⁡β)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( f_x\left( x_0,y_0 \right) ,f_y\left( x_0,y_0 \right) \right) \cdot \left( \cos \alpha ,\cos \beta \right) \                           =(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅(cosα,cosβ)
=∇f(x0,y0)⋅el=\nabla f\left( x_0,y_0 \right) \cdot e_l\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =∇f(x0,y0)⋅el
=∣∇f(x0,y0)∣cos⁡θ=|\nabla f\left( x_0,y_0 \right) |\cos \theta \ \ \ \ \ \ \ =∣∇f(x0,y0)∣cosθ
其中θ\thetaθ是梯度与lll方向的夹角
从上面我们可以得到梯度
∇f(x0,y0)=fx(x0,y0)i⃗+fy(x0,y0)j⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))\nabla f\left( x_0,y_0 \right) =f_x\left( x_0,y_0 \right) \vec{i}+f_y\left( x_0,y_0 \right) \vec{j}=\left( f_x\left( x_0,y_0 \right) ,f_y\left( x_0,y_0 \right) \right)∇f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
梯度是这样一个向量：它的方向是函数在这点方向导数取最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值

梯度的几何意义

首先要明确我们上面定义的梯度是二元函数的梯度
函数为二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)时在空间中表示的是一个曲面，但是函数上某一点的梯度是二维空间中的一个向量
不少同学会在这儿感到疑惑，包括本人也是经过了思考才搞清楚的

第一个图形上有若干个等值面，它们在xOyxOyxOy平面内的投影即为第二个图形
譬如函数上HHH点的梯度方向如图所示，我们发现二元函数上某一点的梯度方向就是二维平面内的一个向量(注意：梯度方向为等值线上垂直于该点切线的法线方向)

如果函数是一个三元函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)，它的图形是一个超曲面，在三维空间我们无法绘制出来，但是它的投影却是三维空间的曲面，称之为等值面，我们可以绘制出一个三元函数在三维空间的等值面
如图所示

譬如函数上点MMM处的梯度方向如图所示，三元函数上某一点梯度的方向就是三维空间中的一个向量(注意：梯度方向为等值面上垂直于该点切平面的法线方向)

总结

(一)二元函数梯度的方向就是等值线上该点的法线方向
(二)三元函数梯度方向就是等值面上该点的法线方向（该点切平面的法线方向），通常用来求曲面上某点的切平面方程和法线方程

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关于方向导数和梯度你真的懂了吗？

文章目录

前言

一、空间曲线的切线与法平面

二、曲面的切平面与法线

三、方向导数和梯度

梯度的几何意义

总结

关于方向导数和梯度你真的懂了吗？相关推荐

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