文章目录

Eigenvalue Decomposite (EVD)
- 1. Eigenvalues and eigenvectors
- - 1.1 Definition
  - 1.2 How to solve <span class="katex--inline">A\vec{x}=\lambda\vec{x}</span>
  - 1.3 特征值的性质
- 2.Diagonalizing a matrix

Eigenvalue Decomposite (EVD)

1. Eigenvalues and eigenvectors

1.1 Definition

对于矩阵AAA 以及向量 x⃗\vec{x}x，若存在λ\lambdaλ以及向量x⃗\vec{x}x使得下式成立Ax⃗=λx⃗A\vec{x}=\lambda \vec{x}Ax=λx
则称λ\lambdaλ为矩阵AAA的一个特征值，向量x⃗\vec{x}x为与该特征值相对应的特征向量

1.2 How to solve Ax⃗=λx⃗A\vec{x}=\lambda\vec{x}Ax=λx

Rerite is as (A−λI)x⃗=0(A-\lambda I)\vec{x}=0(A−λI)x=0
因此我们有 A−λIA-\lambda IA−λI 是一个奇异矩阵(不可逆)
∣A−λI∣=0|A-\lambda I|=0∣A−λI∣=0，该式称为特征方程(characteristic equation)。解特征方程，即可得到特征值。
将特征值代入A−λIA-\lambda IA−λI，求得其null space中的一个向量即为特征向量。

1.3 特征值的性质

与矩阵的迹的关系：trac(A)=∑i=1nλitrac(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_itrac(A)=∑i=1nλi
与矩阵的行列式的关系：∣A∣=∏i=1nλi|A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i∣A∣=∏i=1nλi
如果一个矩阵是上三角阵，则其特征值为对角线上的元素
如果一个矩阵是对称矩阵，那么其所有的特征值均是实数，而若一个矩阵是反对称矩阵(AT=−A)(A^T=-A)(AT=−A)，其所有的特征值都是纯虚数

2.Diagonalizing a matrix

假定矩阵AAA具有n个independent eigenvector，矩阵SSS为这些特征向量构成的矩阵(每一个特征向量为一列)，那么我们有：AS=A[x1⃗,x2⃗,⋯,xn⃗]=[x1⃗,x2⃗,⋯,xn⃗][λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn]=SΛ\begin{align} AS&=A[\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}]\\ & = [\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}]\begin{bmatrix}\lambda_1&\cdots&0\\\vdots &\ddots&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix} \\ &=S\Lambda\end{align}AS=A[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn]⎣⎡λ1⋮0⋯⋱⋯0⋮λn⎦⎤=SΛ
于是我们得到：A=SΛS−1A=S\Lambda S^{-1}A=SΛS−1
若矩阵AAA为对称矩阵，且选择特征向量，使得所有特征向量为正交归一化向量，此时记特征向量构成的矩阵为QQQ，上述对于一般矩阵AAA的对角化式则变为：A=QΛQTA=Q\Lambda Q^TA=QΛQT
其中，由于Q是满秩且每一列均是单位向量，有Q−1=QTQ^{-1}=Q^TQ−1=QT。

特征值分解(EVD)相关推荐

矩阵分解之: 特征值分解(EVD)、奇异值分解(SVD)、SVD++
目录: 1.矩阵分解 1.1 矩阵分解的产生原因 1.2 矩阵分解作用 1.3 矩阵分解的方法 1.4 推荐学习的经典矩阵分解算法 2. 特征值分解(EVD) 3. 奇异值分解(SVD) 4. SVD ...
线性代数学习笔记10-2：特征值分解EVD/奇异值分解SVD的几何意义
前置知识矩阵对应于线性变换,并且要明确讨论所依赖的基(坐标系):同一个变换,在不同的基下对应的矩阵不同具体来说,矩阵中的列向量对应了基变换,而基的变换造成了原空间中所有向量的变换 B = P − ...
矩阵分解之特征值分解(EVD)、奇异值分解(SVD)、SVD++
矩阵分解之: 特征值分解(EVD).奇异值分解(SVD).SVD++_人鱼线的博客-CSDN博客_evd分解矩阵的特征分解和奇异值(SVD)分解--求法和意义_奔跑的Yancy的博客-CSDN博客_ ...
人工智能里的数学修炼 | 矩阵的花样分解：特征值分解（EVD）、相似对角化、QR分解、Schur分解、奇异值分解（SVD）的概念纠缠与详解
前言在高等代数里,矩阵分解是一个十分基础与重要的内容,任何一个学校对于理工科的研究生教育都会开设相应的课程,如:矩阵分析.矩阵论.线性系统等.看了不少社区的问答.笔记和博客,在它们的基础上加入一些自 ...
特征值分解（Eigen Value Decomposition，EVD）、奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）原理、公式推导及应用
1 正交矩阵&正交变换正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换,包含旋转.平移.轴对称及这些变换的复合形式,正交变换可以保持向量的长度和向量之间的角度不变.特别的,标准正交基经正交变换后仍 ...
特征值分解与奇异值分解及其应用
SVD奇异值分解正交矩阵正交矩阵正交矩阵对应着正交变换,特点在于不改变向量的尺寸(模)和任意两个向量的夹角.在x-y坐标系中,通俗地讲,就是旋转两个坐标轴,得到新的互相垂直的坐标轴,求向量在 ...
上三角矩阵的特征值分解
引入问题:给定一个对角线非零的上三角矩阵\(M\),求\(M^k\),满足\(M\)的阶\(\le 500\),\(k\le 10^9\). 对998244353取模. 一个显而易见的算法是矩阵快速幂 ...
矩阵奇异值分解特征值分解_推荐系统中的奇异值分解与矩阵分解
矩阵奇异值分解特征值分解 Recently, after watching the Recommender Systems class of Prof. Andrew Ng's Machine Lea ...
机器学习知识点(十九)矩阵特征值分解基础知识及Java实现
1.特征值分解基础知识矩阵乘法Y=AB的数学意义在于变换,以其中一个向量A为中心,则B的作用主要是使A发生伸缩或旋转变换.一个矩阵其实就是一个线性变换,因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量,其实就相 ...

特征值分解(EVD)

文章目录

Eigenvalue Decomposite (EVD)

1. Eigenvalues and eigenvectors

1.1 Definition

1.2 How to solve Ax⃗=λx⃗A\vec{x}=\lambda\vec{x}Ax=λx

1.3 特征值的性质

2.Diagonalizing a matrix

特征值分解(EVD)相关推荐

最新文章

热门文章