概率论与数理统计-连续型随机变量基础知识（一）

$\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & & \\ 0& & \end{matrix}\right.$ 今天要了解的基础知识是连续型随机变量的概念，常见的连续型随机变量分布。

连续型随机变量的定义是若一个随机变量的分布函数可写成 $F(x)=P(X<x)=\int_{-\propto }^{x}\varphi (x)dx$ ，则该随机变量可称为连续型随机变量，其中 $\varphi(x)$ 为该连续型随机变量的密度函数。连续型随机变量有哪些基本性质呢?

(1)若连续型随机变量在某点是连续的（这个我不太清楚，数学很严谨，我一直不是很懂），则 $F'(x)=\varphi (x)$ 。

(2) $\int_{-\propto }^{\propto }\varphi (x)dx=1$ ，这个性质很重要，经常用来求分布函数和密度函数。

(3) $P(b< x\leq a)=F(a)-F(b)$

(4)若X为连续型随机变量，则 $P(X=a)=0$ 。

这些基础知识介绍之后，紧接着就是常见分布。

一、均匀分布

若随机变量X落在[a,b]上各点的概率是相等的，则称随机变量X服从均匀分布，其密度函数为 $\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & a\leq x \leq b& \\ 0& else & \end{matrix}\right.$ .

二、指数分布

$\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} & x> 0 & \\ 0& x\leq 0 & \end{matrix}\right.$ ，指数分布的分布函数有必要记一下 $F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x} &x> 0 & \\ 0& x\leq 0& \end{matrix}\right.$ 。

三、正态分布（用的实在太多了）

密度函数 $\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}$ ，x的取值为全实数轴。若 $\mu =0$ 且 $\sigma =1$ ，则称该正态分布为标准正态分布。正态分布还有如下性质：

(1)正态分布的标准化，假设有正态分布 $X\sim N(\mu ,\sigma ^{^{2}})$ ，若将X替换为 $\frac{x-\mu }{\sigma }$ ，则该函数服从标准正态分布 $\phi (x)$ .

(2) $\phi (-x)=1-\phi (x)$

四、 $\Gamma$ 分布

首先介绍 $\tau$ 函数： $\Gamma (\alpha )=\int_{0}^{+\propto }t^{\alpha -1}e^{-t}dt$ ，该函数有如下几条性质：

(1) $\Gamma (1)=1$

(2) $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

(3)= $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

由（3）可知， $\Gamma (n+1)=n!$ n为正整数

接下来介绍 $\tau$ 分布，若随机变量的密度函数为：

$\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} & x> 0& \\ 0 & x\leq 0 & \end{matrix}\right.$ ，则称X服从 $\Gamma$ 分布。即为 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$ ,观察可知指数分布即为 $X\sim (1,\lambda )$ , $\chi$ 分布即为 $\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 。

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