公式

两球相交分为两种情况：
第一种 大球完全包围了小球
第二种 两球相交但无完全包含关系

第一种情况的答案是显而易见的，直接求出小球体积即可
下面给出第二种情况的求解方法

V = π h 1 2 ( R − 1 3 h 1 ) + π h 2 2 ( r − 1 3 h 2 ) V = \pi h_1^2(R-\frac{1}{3}h_1) + \pi h_2^2(r-\frac{1}{3}h_2) V=πh12(R−31h1)+πh22(r−31h2)
图中角 α \alpha α与角 β \beta β位置标反了（多谢评论区小伙伴的提醒）

推导

我们把相交部分面积分为两部分，一部分是大球刨出去的体积，一部分是小球抛出去的体积，并且这两部分面积计算公式相同。
接下来我们证明其中大球刨去体积的公式。
先做一些准备工作
cos ⁡ α = R 2 + d 2 − r 2 2 R d \cos\alpha = \frac{R^2+d^2-r^2}{2Rd} cosα=2RdR2+d2−r2
h 1 = R − R c o s α h_1 = R-Rcos\alpha h1=R−Rcosα
为了应用黎曼积分求体积，首先要得到大球被抛去部分的圆面面积公式。
由于刨去部分圆面的半径随着圆面的圆心从E点到F点的距离变小而变小，为了研究这两者间的关系，我们设圆面的圆心到F点的距离为 x x x 。
得到圆面半径的表达式为 R 2 − ( R c o s α + x ) 2 ) \sqrt{R^2-(Rcos\alpha+x)^2}) R2−(Rcosα+x)2 ) ，从而圆面面积表达式为 π ( R 2 − ( R c o s α + x ) 2 ) \pi(R^2-(Rcos\alpha+x)^2) π(R2−(Rcosα+x)2)
于是得到大球抛去体积 V 1 V_1 V1 的积分公式为
V 1 = ∫ 0 h 1 π ( R 2 − ( R c o s α + x ) 2 ) d x V_1 = \int_0^{h_1}\pi(R^2-(Rcos\alpha+x)^2) dx V1=∫0h1π(R2−(Rcosα+x)2)dx
经过一系列牛顿-莱布尼茨公式之后化简得到
V 1 = π ( − 1 3 h 1 2 − R h 1 2 c o s α + R 2 h 1 s i n 2 α ) V_1 = \pi(-\frac{1}{3}h_1^2-Rh_1^2cos\alpha+R^2h_1sin^ 2\alpha) V1=π(−31h12−Rh12cosα+R2h1sin2α)
再把 c o s α cos\alpha cosα 代入化简后得到
V 1 = π h 1 2 ( R − 1 3 h 1 ) V_1 = \pi h_1^2(R-\frac{1}{3}h_1) V1=πh12(R−31h1)
同理可得小球被刨去的体积
V 2 = π h 2 2 ( r − 1 3 h 2 ) V_2 = \pi h_2^2(r-\frac{1}{3}h_2) V2=πh22(r−31h2)
总体积
V = V 1 + V 2 = π h 1 2 ( R − 1 3 h 1 ) + π h 2 2 ( r − 1 3 h 2 ) V = V_1 + V_2 = \pi h_1^2(R-\frac{1}{3}h_1) + \pi h_2^2(r-\frac{1}{3}h_2) V=V1+V2=πh12(R−31h1)+πh22(r−31h2)

代码

话不多说，上代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#define Pi 3.14using namespace std;class Sphere //属性分别为:(x,y,z)三个坐标以及半径
{private:double m_x;double m_y;double m_z;double m_r;
public:Sphere():m_x(0),m_y(0), m_z(0), m_r(0){}Sphere(double x,double y,double z,double r) :m_x(x), m_y(y), m_z(z), m_r(r){}double getx();double gety();double getz();double getr();void modi_x(double x);void modi_y(double y);void modi_z(double z);void modi_r(double r);bool intersect(Sphere& o);double vol_ints(Sphere& o);double distance(Sphere& o);
};
//获得属性
double Sphere::getx()
{return m_x;
}
double Sphere::gety()
{return m_y;
}
double Sphere::getz()
{return m_z;
}
double Sphere::getr()
{return m_r;
}
//修改属性
void Sphere::modi_x(double x)
{m_x = x;
}
void Sphere::modi_y(double y)
{m_y = y;
}
void Sphere::modi_z(double z)
{m_z = z;
}
void Sphere::modi_r(double r)
{m_r = r;
}
//判断两个球是否相交
bool Sphere::intersect(Sphere& o)
{if (m_x == o.m_x && m_y == o.m_y && m_z == o.m_z)return true;else{double dis = distance(o);if ((m_r + o.m_r) * (m_r + o.m_r) > dis)return true;elsereturn false;}
}
//计算两球圆心之间的距离
double Sphere::distance(Sphere& o)
{return (m_x - o.m_x) * (m_x - o.m_x) + (m_y - o.m_y) * (m_y - o.m_y) + (m_z - o.m_z) * (m_z - o.m_z);
}
//计算两球相交部分体积
double Sphere::vol_ints(Sphere& o)
{if (!intersect(o))return 0;else{double dis = distance(o);double max = m_r > o.m_r ? m_r : o.m_r;double min = m_r > o.m_r ? o.m_r : m_r;if (sqrt(dis) + min <= max)return 4 / 3 * Pi * pow(min, 3);else{double cos_a = (max * max + dis * dis - min * min) / (2 * max * dis);double cos_b = (min * min + dis * dis - max * max) / (2 * min * dis);double h_a = max * (1 - cos_a);double h_b = min * (1 - cos_b);return (Pi / 3) * (3 * max - h_a) * h_a * h_a + (Pi / 3) * (3 * min - h_b) * h_b * h_b;}}
}

第一次写文章，发现错误的话请各位多多指教

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