计算矩阵的秩、行空间、列空间、零空间、左零空间

笔记来源：Rowspace and left nullspace | Matrix transformations | Linear Algebra | Khan Academy

秩：求方程组的通解个数、判定非齐次方程组有无解、秩和解的个数有关

零空间：线性方程组 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的所有解的集合

A=[2−1−3−426]N(A)={x∈R3∣Ax=0}A=\begin{bmatrix}2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 6\end{bmatrix}\quad N(A)=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^3 |A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \} A=[2−4−12−36]N(A)={x∈R3∣Ax=0}
从矩阵AAA 化简到上三角矩阵UUU 再化简到最简行阶梯型RRR
Ax=0→Ux=0→Rx=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\rightarrow U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\rightarrow R\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0→Ux=0→Rx=0
Ax=[2−1−3−426][x1x2x3]=[00]A\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} Ax=[2−4−12−36]⎣⎡x1x2x3⎦⎤=[00]

[2−1−3−42600]→[1−12−32−1123200]→[1−12−3200000]\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 6 \end{matrix}& \begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]\rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}& \begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]\rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}& \begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ] [2−4−12−3600]→[1−1−2121−232300]→[10−210−23000]

[1−12−32000][x1x2x3]=[00]\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} [10−210−230]⎣⎡x1x2x3⎦⎤=[00]

x1x_1x1是主元变量（与主元相关），x2、x3x_2、x_3x2、x3是自由变量（与主元不相关）
x1−12x2−32x3=0x1=12x2+32x3[x1x2x3]=x2[1210]+x3[3201]x_1-\frac{1}{2}x_2-\frac{3}{2}x_3=0\\ ~\\ x_1=\frac{1}{2}x_2+\frac{3}{2}x_3\\ ~\\ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 0 \\1 \end{bmatrix} x1−21x2−23x3=0 x1=21x2+23x3 ⎣⎡x1x2x3⎦⎤=x2⎣⎡2110⎦⎤+x3⎣⎡2301⎦⎤

矩阵AAA 的零空间（要计算矩阵的零空间，需要将矩阵A化为最简行阶梯型矩阵【reduced row echelon form】，化简后基张成的空间就是矩阵的零空间）
N(A)=Span([1210],[3201])N(A)=Span(\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 0 \\1 \end{bmatrix}) N(A)=Span(⎣⎡2110⎦⎤,⎣⎡2301⎦⎤)
矩阵AAA 的列空间（第一个、第二个、第三个向量线性相关，所以只需用一个向量张成的空间即可表达此列空间）
C(A)=Span([2−4],[−12],[−36])=Span([2−4])C(A)=Span(\begin{bmatrix}2\\ -4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3\\ 6\end{bmatrix})=Span(\begin{bmatrix}2\\ -4\end{bmatrix}) C(A)=Span([2−4],[−12],[−36])=Span([2−4])
矩阵AAA 的秩（矩阵AAA化简为最简行阶梯型后非零行的行数或主元个数，几何上表现为经过矩阵A的线性变换后的空间维数）

矩阵AAA的秩是在回答A中有多少列是线性无关的，矩阵ATA^TAT是在回答A中有多少行是线性无关的（参考自）
Rank(A)=1Rank(A)=1 Rank(A)=1

矩阵 AAA 的转置 ATA^TAT
AT=[2−4−12−36]N(AT)={x∈R2∣ATx=0}A^T=\begin{bmatrix}2 & -4\\ -1 & 2\\ -3 & 6 \end{bmatrix}\quad N(A^T)=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^2|A^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \} AT=⎣⎡2−1−3−426⎦⎤N(AT)={x∈R2∣ATx=0}

[2−4−12−36]→[1−2−12−12]→[1−20000]=rref(AT)\begin{bmatrix} 2 & -4\\ -1 & 2\\ -3 & 6 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 2\\ -1 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=rref(A^T) ⎣⎡2−1−3−426⎦⎤→⎣⎡1−1−1−222⎦⎤→⎣⎡100−200⎦⎤=rref(AT)

[1−20000][x1x2]=[000]\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ⎣⎡100−200⎦⎤[x1x2]=⎣⎡000⎦⎤

x1−2x2=0x1=2x2[x1x2]=x2[21]x_1-2x_2=0\\ ~\\ x_1=2x_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=x_2 \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} x1−2x2=0 x1=2x2 [x1x2]=x2[21]

矩阵AAA 的转置的零空间（即矩阵A的左零空间）(所求的 x\boldsymbol{x}x 在矩阵AAA 的左侧)

ATx=0(ATx)T=(0)TxT(AT)T=0TxTA=0TN(AT)={x∣ATx=0}={x∣xTA=0T}A^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\ ~\\ (A^T\boldsymbol{x})^T=(\boldsymbol{0})^T\\ ~\\ \boldsymbol{x}^T (A^T)^T=\boldsymbol{0}^T\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TA=\boldsymbol{0}^T\\ ~\\ N(A^T)=\{\boldsymbol{x}|A^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}^TA=\boldsymbol{0}^T\} ATx=0 (ATx)T=(0)T xT(AT)T=0T xTA=0T N(AT)={x∣ATx=0}={x∣xTA=0T}

N(AT)=Span([21])N(A^T)=Span(\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}) N(AT)=Span([21])

矩阵A的转置的列空间（即矩阵A的行空间）（第一个向量与第二个向量线性相关，所以只需用一个向量张成的空间即可表达此行空间）
C(AT)=Span([2−1−3],[−426])=Span([2−1−3])C(A^T)=Span(\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -4\\ 2\\ 6 \end{bmatrix})=Span(\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -3 \end{bmatrix}) C(AT)=Span(⎣⎡2−1−3⎦⎤,⎣⎡−426⎦⎤)=Span(⎣⎡2−1−3⎦⎤)
矩阵ATA^TAT 的秩（矩阵ATA^TAT化简为最简行阶梯型后非零行的行数或主元个数，几何上表现为经过矩阵A的线性变换后的空间维数）

矩阵AAA的秩是在回答A中有多少列是线性无关的，矩阵ATA^TAT是在回答A中有多少行是线性无关的（参考自）
Rank(AT)=1Rank(A^T)=1 Rank(AT)=1

A=[2−1−3−426]AT=[2−4−12−36]A=\begin{bmatrix}2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 6\end{bmatrix}\quad A^T=\begin{bmatrix}2 & -4\\ -1 & 2\\ -3 & 6 \end{bmatrix} A=[2−4−12−36]AT=⎣⎡2−1−3−426⎦⎤

矩阵AAA 的零空间N(A)N(A)N(A)、矩阵AAA 的列空间C(A)C(A)C(A)
N(A)=Span([1210],[3201])C(A)=Span([2−4])N(A)=Span(\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 0 \\1 \end{bmatrix})\quad C(A)=Span(\begin{bmatrix}2\\ -4\end{bmatrix}) N(A)=Span(⎣⎡2110⎦⎤,⎣⎡2301⎦⎤)C(A)=Span([2−4])
矩阵AAA 的左零空间N(AT)N(A^T)N(AT)、矩阵AAA 的行空间C(AT)C(A^T)C(AT)
N(AT)=Span([21])C(AT)=Span([2−1−3])N(A^T)=Span(\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}) \quad C(A^T)=Span(\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -3 \end{bmatrix}) N(AT)=Span([21])C(AT)=Span(⎣⎡2−1−3⎦⎤)

梳理一下各个子空间之间的关系：

矩阵AAA 的零空间N(A)N(A)N(A) 和矩阵AAA 的行空间C(AT)C(A^T)C(AT) 互相垂直

矩阵AAA 的列空间C(A)C(A)C(A) 和矩阵AAA 的左零空间N(AT)N(A^T)N(AT) 互相垂直

矩阵 AAA 的秩为： r=Rank(A)=1r=Rank(A)=1r=Rank(A)=1
矩阵 AAA 的大小：行×列=m×n=2×3m×n=2×3m×n=2×3，即m=2m=2m=2、n=3n=3n=3

矩阵 AAA 的行空间的维度：r=1r=1r=1 【C(AT)⊆R1C(A^T)\subseteq \mathbb{R}^1C(AT)⊆R1】
矩阵 AAA 的零空间的维度：n−r=3−1=2n-r=3-1=2n−r=3−1=2【N(A)⊆R2N(A)\subseteq \mathbb{R}^2N(A)⊆R2】
矩阵 AAA 的列空间的维度：r=1r=1r=1 【C(A)⊆R1C(A)\subseteq \mathbb{R}^1C(A)⊆R1】
矩阵 AAA 的左零空间的维度：m−r=2−1=1m-r=2-1=1m−r=2−1=1【N(AT)⊆R1N(A^T)\subseteq \mathbb{R}^1N(AT)⊆R1】

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