本文进行概率论中随机变量及其分布的总结。

一.总纲

这里主要讨论两种随机变量，离散型和连续型，给出分布函数的概念，分布函数与分布律/概率密度之间的转化（对离散型随机变量而言，是分布律；对连续型随机变量而言，是概率密度）。

对于离散型随机变量，给出三种常见的概率分布：

“0-1”分布；
二项分布（n重伯努利）；
泊松分布；

对于连续型随机变量，给出三种常见的概率分布：

均匀分布；
指数分布；
正态分布；

最后，给出关于随机变量的函数的分布，主要介绍了已知随机变量(主要针对连续型)的概率密度，求随机变量的函数的概率密度的两种方法--推导法和公式法。

二.随机变量的分布函数

1.公式表示

$F\left ( x \right ) = P\left \{ X\leqslant x \right \}, -\propto < x< \propto$

注意：这里是小于等于！

$P\left ( x_{1} <X\leqslant x_{2}\right ) = P\left (X\leqslant x_{2}\right ) - P\left (X\leqslant x_{1}\right ) = F\left ( x_{2}\right ) - F\left ( x_{1}\right )$

x趋向于负无穷时，分布函数值为0；x趋向于正无穷时，分布函数值为1

2.离散型随机变量的分布函数

一定要注意有无等于号，注意是否加/减单点处的值

每一段的概率值是累积概率，即为小于或等于x的那些 $x_{k}$ 处的概率之和

3.连续型随机变量的分布函数

是概率密度在非负区间上的积分，（每段从0一直到当前段的最大值进行积分，是分段积分）

三.离散型随机变量

1.分布律

随机变量X	X1	X2	X3	X4
对应取值的概率P	P1	P2	P3	P4

2.(0-1)分布

随机变量X只可能取0与1两个值

它的概率计算为 $P \left \{X=k \right \}=(p)^{k}(1-p)^{1-k}$

3.二项分布

独立地，重复地进行n次具有（0-1）分布性质的实验（也叫伯努利实验）

它的概率计算为 $P\left \{ X = k \right \} = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{1-k}$

k代表当前X的取值，k = 0,1,2...，n代表实验的次数，p代表事件发生的概率

叫做随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X~b(n，p)

4.泊松分布

引入泊松分布的目的是为了近似计算二项分布，参数λ = np（当n>20,p<0.05时，近似效果颇佳）

它的概率计算为 $P\left \{ X = k \right \} = \frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$

其中λ>0是常数,称X是服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)

四.连续型随机变量

1.连续型随机变量

$F\left ( x \right ) = \int_{-\propto }^{x}f\left ( t \right )dt$

称X为连续型随机变量函数，f（x）为非负，可积函数，称其为X的概率密度函数

连续性随机变量单点处的函数值为0，故可不考虑等于号

2.概率密度函数的性质

非负
实数域上积分为1
$P\left ( x_{1}< x\leqslant x_{2} \right ) = F\left ( x_{2} \right )-F\left ( x_{1} \right ) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x)dx$
f(x)是连续函数，即分段点左右函数值相等

3.均匀分布

$f(x) = \frac{1}{b-a},a<x<b$

x为其他范围时，f = 0

称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U（a，b）

4.指数分布

$f(x) = \frac{1}{\Theta }e^{-\frac{x}{\Theta }},x>0$

其中 $\Theta$ >0为常数，称X服从参数为 $\Theta$ 的指数分布

其分布函数为 $F(x) = 1-e^{\frac{-x}{\Theta }},x>0$

指数分布多用于计算产品寿命，具有无记忆性（指在已经使用了s时间的条件下，总共至少能使用s+t时间的概率，与至少能使用t时间的概率相同）

5.正态分布

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\Pi \sigma ^{2}}}e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}},-\propto <x<\propto$

称X服从参数为 $\mu$ ， $\sigma$ 的正态分布（高斯分布），记为X~N（ $\mu$ ， $\sigma ^{2}$ ）

特别的当 $\mu$ = 0， $\sigma$ = 1 时，称X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用 $\varphi (x)$ 和 $\Phi (x)$ 来表示

一般通过线性变换，将正态分布化为标准正态分布，然后通过查表解决

$Z = \frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

五.随机变量的函数

1.离散型

先求出Y的取值，然后把对应的X值的概率相加

2.连续型

1.五步推导法：Fy~PY~PX~Fx~Fx对y求导数

2.公式法（要求函数是单调的才能用）

$f_{Y}(y) = f_{X}[h(y)] |{h}'(y)|,\alpha <x<\beta$ ，其他范围内值为0

其中h(y)是g(x)的反函数， $\alpha$ 为g(x)趋向于正/负无穷时，取最小的那个值； $\beta$ 为g(x)趋向于正/负无穷时，取最大的那个值；

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