前言

可合并的堆有二叉堆、二项堆、配对堆、斐波那契堆等，光是二叉堆的合并就有无脑启发式合并、左偏树、斜堆等做法。

这里主要讲的是二叉堆，想了解其它优秀的可并堆可以看看DSCN上优秀的博客。

启发式合并

使用优先队列，每次把较小的堆的点一一取出来合并到大的堆中，复杂度均摊 O(log⁡2n)O(\log^2 n)O(log2n)。

优点：思路简单清晰，非常好实现。

缺点：主要是太慢了。其次是只允许普通的合并和弹出，搞其它奇怪的操作可能会破坏均摊复杂度。

代码很简单就不水了。

左偏树

最标准常用的做法，复杂度非常优秀。

对普通二叉堆（不平衡）的每个节点定义一个“距离”：如果右儿子为空则距离为1，否则距离为右儿子距离+1。

一棵左偏树满足以下条件（左偏性）：每个节点的右儿子距离不大于左儿子距离。这样一来，一棵 nnn 个节点的左偏树的距离最大为 ⌊log⁡(n+1)−1⌋\lfloor\log (n+1)-1\rfloor⌊log(n+1)−1⌋。

合并操作时，每次将优先级低的根节点与优先级高的根节点的右儿子合并，递归下去，回溯时判断是否交换左右儿子维护左偏性，以及更新距离即可。由于操作次数只与右儿子方向的深度，也就是“距离”有关，所以单次复杂度最大 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。

核心代码——合并：

inline bool cmp(int a,int b){return a>b;}//设置比较函数
inline void update(int x){  //维护左偏性if(t[t[x].sn[0]].dis<t[t[x].sn[1]].dis)swap(t[x].sn[0],t[x].sn[1]);t[x].dis=t[t[x].sn[1]].dis+1;
}
inline int merg(int x,int y){if(!x||!y)return x^y;if(cmp(t[x].val,t[y].val))swap(x,y);t[x].sn[1]=merg(t[x].sn[1],y);update(x);return x;
}

插入节点就把它当单个的堆合并即可。

删除节点时，如果节点是根，就直接把左右子树合并即可。否则比较麻烦，需要把左右子树合并后，接在父亲节点上，然后往上更新维护左偏性。

注意，左偏树不保证平衡，所以最大深度大于 log 级，从一个点往上遍历到根会超时。但是我们可以加一个优化：从一个点往上更新不动时，直接退出。这时往上遍历的长度不超过最大的 dis，所以删点的总复杂度也是 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。

由于每次操作都是严格 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)，所以可以进行可持久化。

斜堆

合并操作和左偏树非常相似，然而比左偏树还要简单。每次合并到右儿子后，直接无脑交换左右儿子即可。

inline bool cmp(int a,int b){return a>b;}
inline int merg(int x,int y){if(!x||!y)return x^y;if(cmp(t[x].val,t[y].val))swap(x,y);t[x].sn[1]=merg(t[x].sn[1],y);swap(t[x].sn[0],t[x].sn[1]);return x;
}

赞美太阳！这时间不会被卡吗？

不会。这个合并的复杂度是均摊 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 的。复杂度分析可以看这里。

合并的复杂度是对的，删除根节点的复杂度是对的，但是我不知道删除任意点的时候是否可以直接删。

另外，这个复杂度是均摊的，所以如果整一些奇怪操作可能会破坏均摊复杂度（比如可持久化，重复某一个历史操作），所以斜堆应该是不能可持久化的。

随机堆

我自己yy的一个可并堆的打法。

我们知道普通的暴力堆合并最坏是 O(n)O(n)O(n) 的，因为如果一直往左儿子或右儿子合并可能会出现很长的一条链。

回忆一下平衡树是怎么解决这个问题的：随机！

具体地，我们每次合并两个根时，如果在上面的根有一个儿子是空的，那么就合并到空的儿子那儿，否则随机往左儿子或右儿子方向合并。

inline bool cmp(ll a,ll b){return a>b;}
inline int mergh(int x,int y){if(!x||!y)return x^y;if(cmp(t[x].val,t[y].val))swap(x,y);bool o=rand()&1;if(!t[x].sn[o^1])o^=1;t[x].sn[o]=mergh(t[x].sn[o],y);return x;
}

随机过后，给普通堆合并带来哪些变化呢？经过测试，堆的最大深度的期望并没有达到期望的 log⁡n\log nlogn 级别，但是合并、插入、删除操作单次的期望复杂度都是 O(log⁡n)O(\log n)O(logn) 的。

就拿合并来说，由于算法遇到儿子数<2的节点就直接合并一次返回了，所以主要都是在左右儿子不为空的节点上遍历。随机访问情况下，这种节点显然最多遍历 O(log⁡n)O(\log n)O(logn) 个。

删除任意节点的时候，只需要合并左右子树然后接到父亲上即可，不需要像左偏树那样往上维护什么左偏性。因为通过上面的分析我们知道，合并的复杂度与树的形态无关。

另外，随机堆也可以实现可持久化。由于每次合并复杂度是均匀的，不会出现斜堆的那种均摊被卡的情况。而且由于不维护距离、不交换左右子树，它的可持久化应该比左偏树好打一些。

附上可持久化的代码（仅多了1行）：

inline bool cmp(ll a,ll b){return a>b;}
inline int mergh(int x,int y){if(!x||!y)return x^y;if(cmp(t[x].val,t[y].val))swap(x,y);int o=rand()&1;if(!t[x].sn[o^1])o^=1;int res=++IN;t[res]=t[x];t[res].sn[o]=mergh(t[x].sn[o],y);return res;
}

可见，除了常数大一点，随机堆其实和左偏树一样万能。

update2021.10.4:

最近学了一下C++11里面的新随机数，发现同为 O(1)O(1)O(1) 随机数，新旧常数的差别却非常大。因为这个随机堆合并每次都要调用随机数，非常依赖它的速度，所以应该根据情况选用不同随机方法。

如果运行不开O2，那么最好用上面的经典rand随机；

开了O2的话，用梅森旋转的随机数引擎可以快10~20倍：
（注意：不开O2的梅森旋转会比rand慢很多）

inline bool cmp(ll a,ll b){return a>b;}
mt19937 Rand(*new(int));
inline int mergh(int x,int y){if(!x||!y)return x^y;if(cmp(t[x].val,t[y].val))swap(x,y);int o=Rand()&1;if(!t[x].sn[o^1])o^=1;t[x].sn[o]=mergh(t[x].sn[o],y);return x;
}

顺便提一下：以time(0)作为随机数种子是最好的，但是在有的比赛或网站上面却是禁用的，
CCF官方曾经也声明过禁止使用这个，后来好像没有了限制，但又没有声明可以使用。所以在比赛和做题中用time(0)是有风险的。

怎么办呢？HandInDevil给出了祂的**大法：用新声明的整形变量的地址（*new(int)）作为随机的种子，同样可以使每次运行程序得到不同的结果！（好像只有Windows下管用）

C++ pb_ds库 binary heap tag

好家伙，没想到C++11已经有现成的可并堆了。学NM直接用

详细介绍可以看于纪平的《C++的pb_ds库在OI中的应用》：

总结

其实手写的堆合并并不复杂，而且总是比封装的数据结构灵活一些。

反正我大多数情况都用的随机堆。

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前言

启发式合并

左偏树

斜堆

随机堆

C++ pb_ds库 binary heap tag

总结

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