前言

打算做一个电磁场到微波工程的系列笔记

一、概念

1.场的概念：

每一时刻，一个物理量在空间中的每一点都有一个确定的值

2.场的分类：

如果这个物理量只有大小没有方向，我们把这种量叫作数量场（标量场）。
      例子：u(x,y,z,t)
      如果这个物理量既有大小又有方向，我们把这种量叫作矢量场。
      例子：A→(x,y,z,t)\overrightarrow{A}\left( x,y,z,t\right)A(x,y,z,t)
      如果这个场不随时间变化，我们把这个场叫作稳定场（恒定场）。
      如果这个场随时间变化，我们把这个场叫作时变场。

3.数量场的等值面：

同一时间，数量场中函数值相同的点所组成的曲面叫作数量场的等值面。
      例子：u=u(M)（u=u(x,y,z)）
      数量场中等值面有无数个
      任意两个不同的等值面绝不相交
      画等值面时要求两个等值面之间相差的值相等，目的是为了观察电磁场变化的快慢（如果C3和C2之间的距离大于C2和C1之间的距离，说明在C3和C2之间电磁场变化的速度慢了）

4.矢量场中的矢量线：

矢量线反映了矢量的方向在空间的变化情况
      矢量的方向与矢量线的切线方向相同
      一个矢量场中有无数多跟矢量线
      任意两根矢量线不可能相交
      矢量变化比较快的地方，矢量线密集

5.数量场中的方向导数：

函数u在点M0处，沿l→\overrightarrow{l}l方向对距离的变化率
      ∂u∂l∣M0=lim⁡Δl→0u(M)−u(M0)Δl\dfrac{\partial u}{\partial l}| _{M_{0}}=\lim _{\Delta l\rightarrow 0}\dfrac{u\left( M\right) -u\left( M_{0}\right) }{\Delta l}∂l∂u∣M0=limΔl→0Δlu(M)−u(M0)
      全增量用全微分表示
      ∂u∂l∣M0=∂u∂xcos⁡α+∂u∂ycos⁡β+∂x0zcos⁡γ\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial l}| _{M_{0}}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\dfrac{\partial x}{0z}\cos \gamma \end{aligned}∂l∂u∣M0=∂x∂ucosα+∂y∂ucosβ+0z∂xcosγ
      l‾=cos⁡αe→x+cos⁡βey→+cos⁡γe→z\overline{l}=\cos \alpha \overrightarrow{e}_{x}+\cos \beta \overrightarrow{e_{y}}+\cos \gamma \overrightarrow{e}_{z}l=cosαex+cosβey+cosγez

6.数量场中梯度

梯度的方向是沿场量变化最大的方向
      ∂u∂l=gradu⋅l→\dfrac{\partial u}{\partial l}=gradu\cdot \overrightarrow{l}∂l∂u=gradu⋅l
      gradu=∂u∂xe→x+∂u∂ye→y+∂u∂zEzgrad u=\dfrac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{e}_{x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{e}_{y}+\dfrac{\partial u}{\partial z}E_{z}gradu=∂x∂uex+∂y∂uey+∂z∂uEz
      方向导数为梯度在l→\overrightarrow{l}l方向的投影
      等值面上一点的最大变换方向是它的法线方向；切线方向变化为0

7.哈密顿算子

∇=∂∂xe→x+∂∂ye→y+∂∂ze→z\nabla =\dfrac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{e}_{x}+\dfrac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{e}_{y}+\dfrac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{z}∇=∂x∂ex+∂y∂ey+∂z∂ez
同时具有矢量性与微分性，首先作用的是矢量性

8.矢量场中的通量

Φ=∮sA→⋅dS→\Phi =\oint_{s} \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}Φ=∮sA⋅dS
      通量代表从闭合面内部穿出它的通量与外部进入的通量的代数和。
      Φ>0\Phi >0Φ>0:穿出大于穿入，里面有正源
      Φ<0\Phi <0Φ<0:穿入大于穿出，里面有负源
      我们只是知道了这个曲面的整体情况，但不知道正源有多少，负源有多少

9.矢量场中的散度

divA→=lim⁡ΔV→0∮sA→⋅dS→ΔVdiv\overrightarrow{A}=\lim _{\Delta V\rightarrow 0}\dfrac{\oint _{s}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}}{\Delta V}divA=limΔV→0ΔV∮sA⋅dS
A→(x,y,z)=Axex→+Ayey→+Azez→\overrightarrow{A}\left( x,y,z\right)=A_{x}\overrightarrow{e_{x}}+A_{y}\overrightarrow{e_{y}}+A_{z}\overrightarrow{e_{z}}A(x,y,z)=Axex+Ayey+Azez

divA→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂zdiv\overrightarrow{A}=\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial A_{y}}{\partial y}+\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z}divA=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az
      divA→=∇⋅A→div\overrightarrow{A}=\nabla \cdot \overrightarrow{A}divA=∇⋅A
      散度反应了某一点领域的单位体积里面源分布的情况。
      散度大于零，矢量线从该点发出；散度小于零，矢量线在该点截止；散度等于零，矢量线平滑穿过该点

10.矢量场中的环量

Q=∮LA→⋅dl→Q=\oint _{L}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}Q=∮LA⋅dl
其中l→\overrightarrow{l}l为有向闭合曲线
如果我们在某一点的邻域沿某一个环路对这个矢量进行积分，如果这个积分不为0，则初步判断有漩涡，但不知道漩涡的轴在哪

11.矢量场中的环量密度

q=lim⁡Δs→0∮LA→⋅dl→ΔSq=\lim _{\Delta s\rightarrow 0}\dfrac{\oint _{L}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}}{\Delta S}q=limΔs→0ΔS∮LA⋅dl

q=(∂Az∂y−∂Ay∂z)cos⁡α+(∂Ax∂z−∂Az∂x)cos⁡β+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)cos⁡γ\begin{aligned}q=\left( \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\right) \cos \alpha + \left( \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x}\right) \cos \beta +\left( \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \cos \gamma \end{aligned}q=(∂y∂Az−∂z∂Ay)cosα+(∂z∂Ax−∂x∂Az)cosβ+(∂x∂Ay−∂y∂Ax)cosγ

12.矢量场中的旋度

q=rotA→⋅n→q=rot\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}q=rotA⋅n
      n‾=cos⁡αe→x+cos⁡βey→+cos⁡γe→z\overline{n}=\cos \alpha \overrightarrow{e}_{x}+\cos \beta \overrightarrow{e_{y}}+\cos \gamma \overrightarrow{e}_{z}n=cosαex+cosβey+cosγez
      rotA→=∇×A→rot\overrightarrow{A}=\nabla \times \overrightarrow{A}rotA=∇×A
      rotA→=∣e→xey→e→z∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz∣rot\overrightarrow{A}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e}_{x} & \overrightarrow{e_{y}} & \overrightarrow{e}_{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{vmatrix}rotA=∣∣ex∂x∂Axey∂y∂Ayez∂z∂Az∣∣
旋度的方向就是这一点环量密度最大的方向，也就是垂直于环路的法线的方向(轴）

二、重要公式

∇⋅(A→×B→)=B→⋅∇×A→−A→⋅∇×B‾\nabla \cdot \left( \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}\right) =\overrightarrow{B}\cdot \nabla \times \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A}\cdot \nabla \times \overline{B}∇⋅(A×B)=B⋅∇×A−A⋅∇×B
∇×(uA→)=u∇×A→+∇u×A→\nabla \times \left( u\overrightarrow{A}\right) =u\nabla \times \overrightarrow{A}+\nabla u\times \overrightarrow{A}∇×(uA)=u∇×A+∇u×A
∇×(∇u)≡0\nabla \times \left( \nabla u\right) \equiv 0∇×(∇u)≡0
∇⋅(∇×A→)≡0\nabla \cdot \left( \nabla \times \overrightarrow{A}\right) \equiv 0∇⋅(∇×A)≡0
∇⋅(∇υ)=∇2u\nabla \cdot \left( \nabla \upsilon \right) =\nabla ^{2}u∇⋅(∇υ)=∇2u拉普拉斯算子
∇2u=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2\nabla ^{2}u=\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}∇2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u
在源分布的区域，对待求的函数求拉普拉斯算子，若拉普拉斯算子不等于0，表示有源存在
∇×(∇×A→)=∇⋅(∇⋅A→)−∇2A→\nabla \times \left( \nabla \times \overrightarrow{A}\right) =\nabla \cdot \left( \nabla \cdot \overrightarrow{A}\right) -\nabla ^{2}\overrightarrow{A}∇×(∇×A)=∇⋅(∇⋅A)−∇2A矢量的拉普拉斯算子

三、亥姆霍兹定理

在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度，旋度和边界条件唯一地确定

四、笔记源自马西奎老师的课程

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