傅立叶级数？变换？FFT？

文章目录

总结
引言
傅立叶级数（FS）
傅立叶变换（FT）
离散傅里叶级数（DFS）
离散时间傅里叶变换（DTFT）
离散傅立叶变换（DFT）
快速傅立叶变换（FFT）
- 多项式乘法（我猜你想看的FFT）
- 信号处理中的FFT

总结

很魔法，总结写在最前面，因为这是我觉得最关键的内容。

傅里叶级数其实是被傅里叶变换囊括的，表现为频谱上的一个个冲激信号。
频谱离散的信号，就是可以写出傅里叶级数的信号，特点就是要有周期（非周期在周期延拓也可以），连续就是FS（第二种），离散的就是DFS（第四种）。
无论是连续还是非连续的都可以看做傅里叶变换。下面这张图囊括了傅里叶变换的所有形式。里面包含了傅里叶变换的对偶性。
另外，傅里叶变换（第一种）条件是绝对可积，由此引出了拉普拉斯变换。离散时间傅里叶（第三种）变换条件则是绝对可和，由此引出了z变换，另一篇博客讲。前面是对于非周期而言的，周期性的不绝对可积也不绝对可和，不能拉普拉斯和z变换。
1，3傅里叶变换；2，4傅里叶级数。2，4也可以叫变换，前提是引入冲激函数。

引言

本人专业是自动化，离不开信号与系统这门课，提到信号与系统，自然是离不开大名鼎鼎的傅立叶，傅立叶级数、傅立叶变换都是常用的计算工具。
同时，我也搞搞算法竞赛，众所周知，FFT（快速傅立叶变换）是一种计算多项式乘法的算法。
虽然我都接触过这两个东西，但是快速傅立叶变换和傅立叶变换，有什么关系吗？
当然有，在此之前，你得先知道有个东西叫离散傅立叶变换（DFT），FFT的最早提出其实是为了快速计算出DFT。也就是说，FFT是一种算法，它的命名是因为它最早被用于求解离散傅立叶变换，而同时它也可以解决一些其他问题。
然后我现在总结一下这些东西。
关于拉普拉斯变换和Z变换写在了另一篇博客中。

傅立叶级数（FS）

傅立叶变换是针对周期函数而言的。数学家经常这么想，能不能用一些简单的函数累加去组合出（逼近）一个复杂的函数，其中最有名的肯定是泰勒公式。
傅立叶级数也是类似的想法，周期函数能不能分解成很多简单的函数和。和出来的函数是周期性的，那自然想到组成函数也是周期性的，最简单的周期函数是什么呢？当然是三角函数（简单在容易积分和求导，这个简单还包括正交性，乘积的积分等于0）。
然后就有了傅立叶级数：

推导可以看这个博客，也包括了后面傅立叶变换啥的
然后再增加一点，非周期信号也可以计算傅立叶级数。就是把函数当成：存在定义域的周期函数，即定义域内为整个函数的一个周期。
公式就变成了：

傅立叶变换（FT）

傅立叶级数是针对周期信号的，那如果是定义在整个周期上的非周期信号，就不可以用周期信号去逼近了吗？答案是可以，但是是连续的，既然是连续的，那就不能写成求和的形式，而是积分的形式。公式如下，包括逆变换公式：

谈谈理解，F(w）是频谱，什么是频谱，可以理解为一个个不同频率的周期函数，它们可以组成整个函数，但是这些函数的个数是无穷多的，所以函数的横坐标实际表达的是在某个频率附近函数的密度。如果你学过概率论，知道概率密度函数，应该可以比较轻松的理解。

然后，我们再反过来思考，对于周期信号，傅立叶变换是什么样的？如果你去看书，会发现频谱图是一个个离散的冲激信号（不懂自己查），也就是说这个地方频率密度无限高，换言之就是这个频率。这其实非常符合我们用傅立叶变换去逼近函数，用于逼近的周期函数的频率正好是离散的。
PS：提一个很简单的应用，稍微给大家建立一点实际应用的感觉。两个同时说话，声调不同，我们一开始采集到的声轨是时间关于声音（音量？振动速度？原谅我物理没学好）的函数。我们把它傅立叶变换，由于两个人声带振动频率不同，变换后的函数会在两个不同的频率处有两个峰，我们消除其中一个并拟变换回来，就消除了其中一个人的声音。类似的应用还有很多，比如说消除图片中的高频噪声等等。

离散傅里叶级数（DFS）

离散傅里叶级数是针对周期离散时间信号而言的。
离散序列傅里叶级数（变换）之后是周期性的，这很关键。因为下一个周期又会重复某个（4pi和2pi转起来是一样的），才能抵消掉多余的部分，不然一圈内的频率，肯定组成的原函数是连续的。（一种感觉罢了）
推出来是这个样子的。

离散时间傅里叶变换（DTFT）

先用单位冲激序列对函数采样，就变成了离散时间序列。然后使用傅里叶变换可以推出来DTFT的公式。（交换积分次序，利用冲激函数的积分求）

离散傅立叶变换（DFT）

对于计算机来说，无穷是无法求解的。就像电脑算积分，其实是把函数分成非常多小条矩形，加起来的面积就是积分值，离散傅立叶变换也是类似的东西。
对于频谱密度函数（频谱F(w)），可以感受一下，如果每隔一小段，用其中某个值代替频率密度，函数就变成离散的了，然后可以用这些频率和其函数值作为系数去组成（累加）原函数，这不就是所谓的离散傅立叶变换吗。
这是DFT的公式：

看傅立叶级数的指数形式：

有没有觉得很像，注意：
标准化的傅立叶变换T趋向于N（隔一个点采一下），傅立叶级数指数形式中括号内就是傅立叶变换，而用离散傅立叶变换代替，T换成N，就变成了傅立叶逆变换。我并没有推过公式，但是这证明的感受是对的。可以说，离散傅立叶变换将傅里叶级数推广到了所有函数。
然后这个公式还可以写成矩阵变换的形式，记住这个 W n t W_n^t Wnt，这是快速傅里叶变换的关键，快速傅里叶变换指的就是快速求出所有的 W n t W_n^t Wnt（nlogn复杂度）。

然后还可以看一下这篇链接，不从傅里叶变换得到离散傅里叶变换，更容易理解也更好记。

快速傅立叶变换（FFT）

多项式乘法（我猜你想看的FFT）

首先是多项式的存储方式，一是系数存储法，那么在做多项式乘法的时候，显然会产生 n 2 n^2 n2的系数，然后再进行合并，那太慢了。二是使用点值存储法，n个点可以确定一个n阶多项式，并且点与点的对应相乘是O（n）的，非常快。要解决的就是如何将系数多项式转变为点值，以及如何将点值多项式转回去。
首先，将系数多项式转为转为点值，就是带n个点进去算，但是计算一个点的n次方是很耗时的，我们需要选择合适的点，加速这个过程。
我们重新来看看 ω n k \omega^k_n ωnk，将复平面单位圆n等分， ω n 0 \omega^0_n ωn0代表点（1，0）， ω n k \omega^k_n ωnk代表绕单位元逆时针k号点。
显然 ω n k = ω 2 n 2 k \omega^k_n=\omega^{2k}_{2n} ωnk=ω2n2k, ω n k = − ω n k + n / 2 \omega^k_n=-\omega^{k+n/2}_{n} ωnk=−ωnk+n/2
推导：

含义解读：一个长度为n的序列，A[k]代表带入单位圆k分点对应的函数值，这个A[k]可以根据奇偶分成两部分A1[n/2]和A2[n/2]，并且已知A1和A2可以O(n)求出A。并且A1和A2保持了原来的形式，可以递归求解。
优化：递归常数太大，考虑迭代。假设我们知道最后一层每个点的位置，我们就可以一层层地往上迭代了。另外，迭代过程只需要一维数组，因为每次都是两个点刷两个点。
观察得出：
最终每个元素所在位置就是其二进制翻转。

code:

for(int i=0;i<limit;i++)r[i]= ( r[i>>1]>>1 )| ( (i&1)<<(l-1) ) ;
for(int i=0;i<limit;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);//求出要迭代的序列，i<r[i]保证只换一次

PS：FFT一定要n是2的整数次幂，如果不是，将n增大到2的幂次，高次项系数为0。

然后是逆变换（IFFT），经过一套推算之后，在分治的过程中乘上单位根的共轭复数（ ω n k \omega^k_n ωnk的共轭复数），分治完的每一项除以n即为原多项式的每一项系数。
fft和ifft共用一个函数，ifft处理完后所有项要/n，
注意要这么写c[i]=(int)(a[i].real()/n+0.5);因为存在精度问题，1.99999999这种

信号处理中的FFT

本质是一个东西，应该说是多项式乘法被转化为了和DFT相同的形式。
把上面DFT公式用欧拉公式展开，就变了上面的形式，不信你试试看。