找到小镇的法官（社会名流问题）

问题

力扣：找到小镇的法官

这个问题可以抽象成：在 n × n n×n n×n 矩阵中，是否存在 i i i，使得

第 i i i 列除第 i i i 项以外所有项都是 1 1 1；
第 i i i 行除第 i i i 项以外所有项都是 0 0 0。

思路

这题看似只有 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 时间的暴力解，然而有一种思路可以让最坏运行时间降到 O ( n ) O(n) O(n)，是这样的：
考虑 n n n 个人中任意 2 2 2 个人的关系，如果 A A A 信任 B B B，则 A A A 一定不是法官（因为法官不信任任何人）；如果 A A A 不信任 B B B，则 B B B 一定不是法官（因为任何人都信任法官）。我们断言法官不是他俩其中一个。我们留下其中一人，剔除另一人，于是法官候选人数从 n n n 变为 n − 1 n-1 n−1。一直如此筛选，直到只剩下 1 1 1 个人。可以看出这个过程需要 O ( n ) O(n) O(n) 时间。
下面需要测试这个人是否真的是法官。我们先问 TA：「请问你不信任其他所有人吗？」，再问其他人所有人：「请问你信任 TA 吗？」如果不满足必要条件，TA 就不是法官。

代码

const int maxn=1003;
bool tr[maxn][maxn]; //tr[i][j]表示i信任j与否
int cand;
class Solution {public:int findJudge(int n, vector<vector<int>>& trusts) {//第一步：把矩阵建出来memset(tr,0,sizeof(tr));for(auto&trust:trusts)tr[trust[0]][trust[1]]=true;//第二步：筛选法官候选人（这里用3个变量模拟出了元素为[1,2,...,n]的队列）int i=1,j=2;for(int nxt=3;nxt<=n+1;++nxt){if(tr[i][j])i=nxt;else j=nxt;}if(i==n+1)cand=j;else cand=i;//第三步：测试cand真的是法官bool isjudge=true;//有些时候需要添加这行代码以便测试通过（这题是不用的）//tr[cand][cand]=false;for(i=1;isjudge&&i<=n;++i){//如果他信任了某人，那肯定不对if(tr[cand][i])isjudge=false;//如果某人不信任他，除非是他自己，那肯定也不对（排除了多个法官的情况）if(!tr[i][cand]&&i!=cand)isjudge=false;}if(isjudge)return cand;else return -1;}
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，因为这里用邻接矩阵替代了邻接链表来简化代码

参考文献

[1] Udi Manber. Introduction to Algorithms: A Creative Approach[M]. 黄林鹏等译. 北京:电子工业出版社, 2006.12.