一、矩阵链相乘问题

例: 令P=<50,35,25,10,60,70,3,5,10>,相对应的矩阵链是：A1(50*35), A2(35*25), A3(25*10), A4(10*60), A5(60*70), A6(70*3), A7(3*5), A8(5*10), 括号内为矩阵的维度，请⽤动态规划算法确定⼀种乘法⽅式，使得A1*A2*A3*A4*A5*A6*A7*A8总的基本运算量（只算乘法，不算加法）最少。

二、求解

1.构建备忘录

备忘录是动态规划算法常用的工具，用来存储子问题得到的最优值并递归的更新其值，直到寻找到全局最优值为止。MatrixChain函数中定义了两个相同大小（n*n）的矩阵M和S，n为矩阵数量。
M（i，j）表示从第i+1个矩阵到第j+1个矩阵链的最少运算总量，故M（0，n-1）即表示了整个矩阵链的最少运算总量。
S（i，j）表示从第i+1个矩阵到第j+1个矩阵链的分割位置，因为每一矩阵链都可看作是两个矩阵链分别运算后的乘积。此矩阵可用于回溯矩阵相乘的顺序。

# 求最优值，记录备忘录
def MatrixChain(p):n = len(p) - 1# 存最优值m = np.zeros((n, n))# 存最优决策s = np.zeros((n, n))# R 表示矩阵链长度 从2开始for r in range(2, n + 1):# 从第i个矩阵Ai开始，长度为r,循环次数为n-r+1for i in range(n - r + 1):j = i + r - 1  # 当前矩阵端（Ai-Aj）起始为Ai 结尾为Aj# 初始化m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i] * p[i + 1] * p[j + 1]s[i][j] = i# 比较寻最小值for k in range(i + 1, j):t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1]if t < m[i][j]:m[i][j] = ts[i][j] = kreturn m, s

2.回溯

回溯函数如下，采用递归方法构造：

# 记录最优决策并构造最优解
res = []
def Traceback(i, j):if i == j:res.append('A' + str(i))else:res.append('(')Traceback(i, int(s[i][j]))Traceback(int(s[i][j] + 1), j)res.append(')')

结果展示

矩阵链为：P=<50,35,25,10,60,70,3,5,10>
备忘录的值为

[[     0.  43750.  26250.  56250. 103250.  23025.  23775.  24675.][     0.      0.   8750.  29750.  75250.  17775.  18300.  18975.][     0.      0.      0.  15000.  59500.  15150.  15525.  16050.][     0.      0.      0.      0.  42000.  14400.  14550.  14850.][     0.      0.      0.      0.      0.  12600.  13500.  14550.][     0.      0.      0.      0.      0.      0.   1050.   2250.][     0.      0.      0.      0.      0.      0.      0.    150.][     0.      0.      0.      0.      0.      0.      0.      0.]]

可见最小值为24675.0
决策矩阵为：

[[0. 0. 0. 2. 2. 0. 5. 5.][0. 0. 1. 2. 2. 1. 5. 5.][0. 0. 0. 2. 2. 2. 5. 5.][0. 0. 0. 0. 3. 3. 5. 5.][0. 0. 0. 0. 0. 4. 5. 5.][0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 5.][0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.][0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]]

最终矩阵链的相乘顺序为：((A0(A1(A2(A3(A4A5)))))(A6A7))

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