质数(素数)的几种求法

质数就是只能被1和它本身整除的数。求质数在程序设计和算法中很常见，尤其是在密码学中经常用到质数。最通常的想法就是依据定义来求质数

如求100以内的质数，我们会写出如下的算法：

int prime_1(int num)
{
int cur=2;
int count=0;   //记录质数个数
while (cur<num)
{
int factor=2;  //每次循环从2开始判断
while (factor<cur)
{
if (cur%factor==0)
{
break;
}
factor++;
}
if (factor==cur)
{
cout<<cur<<" ";
count++;
}
cur++;
}
return count;
}

对于每一个质数都要除到比它小的那个数才能确定下来，这样会做许多无用功。比如11，比如从2到10判断9次才能确定下来。那能不能减少判断次数呢，许多人就会想到只要判断到n/2即可，后边的数不用判断。是的，只要不能被n/2以内的数整除，n就是质数。我们再来想想，一个数n能被另一个数m整除，整除结果为k。可以表示为n=m*k，m和k就称作m的因子，m和k的大小有三种情况，m<k, m=k, m>k，我们只需判断到m=k=sqrt(n)为止，后边的就无需判断，因为如果有大于sqrt(n)的因子那么另一个因子一定小于sqrt(n),小于sqrt(n)的情况已经判断过了，所以不用再次判断了，这样就能减少判断次数。

int prime_2(int num)
{
int count=0;
int cur=2;
while (cur<num)
{
int maxcmp=(int)sqrt(cur);
int factor=2;
bool flag=true;  //设定标志位，如果不是质数置为false
while(factor<=maxcmp)
{
if (cur%factor==0)
{
flag=false;
break;
}
factor++;
}
if (flag)
{
cout<<cur<<" ";
count++;
}
cur++;
}
return count;
}

利用一个性质：一个合数(非质数)都能分解为若干个比它小的质数的乘积。12=2*2*3, 15=3*5,如果我们把以前的质数保存起来，只需判断是否能被比它小的质数整除即可，结合上面的分析只需判断能否被不大于sqrt(n)的质数整除即可，按照这个思路，写出如下代码：

int prime_3(int num)
{
int count=0;
int *result=new int[num];    //记录找到的质数
result[0]=2;
int cur=3;
while(cur<num)
{
bool flag=true;  //设定标志位，如果不是质数置为false
int maxcmp=(int)sqrt(cur);
int index=0;
while(result[index]<=maxcmp)
{
if (cur%result[index]==0) //只判断能否被之前保存的质数整除
{
flag=false;
break;
}
index++;
}
if (flag)
{
count++;
result[count]=cur;
}
cur++;
}
for (int index=0;index<count+1;index++)
{
cout<<result[index]<<" ";
}
delete []result;
return count;
}

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