动态规划之 0-1 背包问题

动态规划问题一直以来都是利用空间换取时间。

动态规划问题一直以来最经典的就是 0 1背包问题，再有点难度就是完全背包问题以及多重背包问题

0-1背包问题

题目描述：有一个容量为 V 的背包，和一些物品。这些物品分别有两个属性，体积 w 和价值 v，每种物品只有一个。要求用这个背包装下价值尽可能多的物品，求该最大价值，背包可以不被装满。

其实这问题刚接触是我靠一脸懵逼这是考数学呀!!！瞬间感觉干饭都不香了。

其实只需要考虑每个物品两种形式在背包和没在背包在背包和没在背包在背包和没在背包

第一步 对于每一个物品，有两种结果：能装下或者不能装下。

第一，包的容量比物品体积小，装不下，这时的最大价值和前i-1个物品的最大价值是一样的。（就是说口袋太小了放不进去，，但是物品价值和口袋里的物品一样值钱）

第二，还有足够的容量装下该物品，但是装了不一定大于当前相同体积的最优价值，所以要进行比较。（就是说口袋很大还能放里面，，但是和已经有的物品比较说不来值钱还是不值钱）

第二步就是考虑边界条件（万一装把口袋撑破了，是不是啥都装不进去了）
dp[i][j]啥意思这样定义就是说把i个物品装进背包容量为 j 的背包达到最大RMB价值。
初始时： dp[0][j]=0 (0<=j<=V)
来翻译一下 就是说开始 i为0 里面没有东西是空口袋但是 j 不变因为口袋本身容量就这样大，里面没有东西自然就不值钱为0
第三步考虑变换过程就是转移状态
第i个物品的体积为w,价值为v，则状态转移方程为
当 j<w 时 dp[i][j]= dp[i-1][j]; 翻译一下就是说第i件东西装不下，而且最大价值不改变，也就是有i行没i也行价值没变，但是有i容量就过载了
当 j<=w dp[i][j]=max(dp [i-1][ j-l ist[i].w] + v, dp[i-1][j]);这段太长了
解释一下就是说 dp[i][j] 的值由装i前的一个决定比如已经装了3斤现在要装5斤那么装这5斤得看3斤装后的状态万一3斤装了没位置了那就不用装5斤了。
所与i的前一个 dp[i-1][j-list[i].w] 这里加入v就好比能装下5 斤，后边理解为比较原本最大价值如果装了价值变小了还不如不装，所以求最大值看看那各价值最大

接下来下代码也是最头疼的

最大值就这

int max(int a, int b)//取最大值函数
{return a > b ? a : b;
}

背包结构体和dp

struct Thing
{int w;int v;
}list[101];int dp[101][1001];

终极main函数

int main()
{int s, n;//背包容量和物品总数while (scanf("%d%d", &s, &n) != EOF){for (int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d%d", &list[i].w, &list[i].v);//读入每个物品的体积和价值}dp[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= s; i++) dp[0][i] = INF;//初始化二维数组for (int i = 1; i <= n; i++)//循环每个物品，执行状态转移方程{for (int j = s; j >= list[i].w; j--){dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - list[i].w] + list[i].v);}for (int j = list[i].w - 1; j >= 0; j--){dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}printf("%d\n", dp[n][s]);}return 0;
}

这里注意个问题我是倒写

 for (int j = s; j >= list[i].w; j--)for (int j = list[i].w - 1; j >= 0; j--)

why why why 举手回答
那是因为要求恰好装满背包时，把dp[0][0]设为0，其余dp[0][i]设为负无穷即可，这样只有恰好达到dp[n][s]时，dp[n][s]才为正值，所以我们直接就认为背包能装满s 容量进而判断当容量大于 i 间物品是就装入进去，来来给画画

下节说说用滚动数组优化问题二维变一维