种群竞争模型 --- (Lotka-Volterra模型) Logistic回归

模型背景

当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。
使用种群竞争模型可以描述两个种群相互竞争的过程，分析产生各种结局的条件。

假设有甲乙两个种群，用以下参数表示两个种群之间的关系：

	甲	乙
种群数量	x(t)	y(t)
环境容纳量	n1	n2
种群增长率	r1	r2

按照Logistic规律有以下关系：

$\frac{dx}{dt}=r_{1}x(1-\frac{x}{N_{1}})$ $\frac{dy}{dt}=r_{1}y(1-\frac{y}{N_{1}})$
其中： $\frac{x}{N_{1}}$ 可以理解为已经利用了的空间，则 $1-\frac{x}{N_{1}}$ 可以理解为尚未利用的空间。

当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还应该加上N2种群对空间的占用。则：

$\frac{dx}{dt}=r_{1}x(1-\frac{x}{n_{1}}-s_{1}\frac{y}{n_{2}})\cdots \cdots (1)$ $\frac{dy}{dt}=r_{1}x(1-\frac{y}{n_{1}}-s_{2}\frac{x}{n_{2}})\cdots \cdots (2)$
其中，s1：物种2对物种1的竞争系数，即每个n2个体所占用的空间相当于s1个n1个体所占用空间。
则有，s2：物种1对物种2的竞争系数，即每个n1个体所占用的空间相当于s2个n2个体所占用空间。
例：甲个体所占空间a，乙个体所占b，则 $s_{1}=\frac{b}{a}$ 。

当甲种群的环境容纳量为n1时，甲种群中每个个体对自身种群的增长具有抑制作用为 $\frac{1}{n_{1}}$
同理，乙种群中每个个体对自身种群得增长具有抑制作用为 $\frac{1}{n_{2}}$

由（1）（2）两式以及s1，s2可得：

乙种群每个个体对甲种群的影响为： $\frac{s_{1}}{n_{1}}$

甲种群每个个体对乙种群的影响为： $\frac{s_{2}}{n_{2}}$

因此可得，当乙物种可以抑制甲物种时，乙对甲的影响>乙对自身的影响，即 $\frac{s_{1}}{n_{1}}>\frac{1}{n_{2}}$ ；整体后得： $n_{2}>\frac{n_{1} }{s_{1}}$

同理有：

乙不能抑制甲： $n_{2}< \frac{n_{1}}{s_{1}}$

甲能抑制乙： $\frac{s_{2}}{n_{2}}>\frac{1}{n_{1}}$ ；整理后得： $n_{1}>\frac{n_{2} }{s_{2}}$

甲不能抑制乙： $n_{1}<\frac{n_{2} }{s_{2}}$

于是在竞争过程中，由于n1，n2（环境容纳量）以及s1，s2（竞争系数）的数值不同，会产生如下四种结果：

甲能抑制乙

甲不能抑制乙

乙能抑制甲

甲乙都有可能得胜

乙得胜

乙不能抑制甲

甲得胜

甲乙都不能抑制对方

(稳定平衡)

乙得胜：当乙种群密度达到了 $\frac{s_{1}}{n_{1}}$ ，甲种群密度就不会再增长。

甲得胜：当甲种群密度达到了 $\frac{s_{2}}{n_{2}}$ ，乙种群密度就不会再增长。

甲乙都有可能获胜：虽然存在一个平衡点，但是很不稳定，只要自然条件的微小波动造成偏离平衡点，那么其中占优的一方就会最终取得生存竞争的胜利。

甲乙都不能抑制对方：最终会趋于甲乙两个种群的数量都不发生变化，即：

$\frac{dx}{dt}=r_{1}x(1-\frac{x}{n_{1}}-s_{1}\frac{y}{n_{2}})=0\cdots \cdots (1)$

$\frac{dy}{dt}=r_{1}x(1-\frac{y}{n_{1}}-s_{2}\frac{x}{n_{2}})=0\cdots \cdots (2)$

满足（1）（2）即为种群平衡点。

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