数论 | 秦九韶算法（Horner法则）

写在前面：

最近写作业的时候，用到了多项式来构造哈希函数（散列函数），也正因如此，我遇到了秦九韶算法（Horner法则）。

秦九韶算法：

假定现在有一个n次多项式需要计算。

按照朴素算法来计算，我们需要 $\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ 次乘法和次加法。我们知道做乘法的代价是很高的，所以朴素算法是非常低效的。

那么，现在引入今天的重头戏——秦九韶算法（Horner法则）。

这样，对于一个n次多项式，我们至多需要做n次乘法和n次加法。

代码实现：(编译器：DEVC++)

以为例。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;const int MAX_Number = 1000;// 多项式最大项数，即多项式阶数+1
const int MAX_Time = 1e3;// 被测函数最大重复调用次数
const double CLOCKS_PER_SECOND = ((clock_t)1000);//CLOCK_PER_SECOND这个常量表示每一秒（per second）有多少个时钟计时单元
const double CLOCKS_PER_MILLISECOND = ((clock_t)1);//CLOCK_PER_SECOND这个常量表示每毫秒（per millisecond）有多少个时钟计时单元clock_t startTime;
clock_t endTime;
double duration;// (平均)运行时间 // 朴素算法
double f1(int n, double a[], double x)
{int i;double p = a[0];for (i = 1; i <= n; i++){p += (a[i] * pow(x, i));}return p;
}// 秦九韶算法
double f2(int n, double a[], double x)
{int i;double p = a[n];for (i = n; i>0; i--){p = p * x + a[i - 1];}return p;
}
// 让被测函数重复运行充分多次，使得测出的总的时钟打点间隔充分长，最后计算平均每次运行的时间即可
int main()
{int i;double a[MAX_Number];// 存储多项式系数 for (int i = 0; i<MAX_Number; i++)// 赋值多项式系数 {a[i] = (double)i;}startTime = clock();for (int i = 0; i<MAX_Time; i++)// 重复调用函数以获得充分多的时钟打点数 {f1(MAX_Number - 1, a, 1.1);}endTime = clock();duration = (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SECOND / MAX_Time;//printf("ticks1=%lf\n",(double)(endTime-startTime));printf("duration1=%.10lf s\n", duration);startTime = clock();for (int i = 0; i<MAX_Time; i++)// 重复调用函数以获得充分多的时钟打点数{f2(MAX_Number - 1, a, 1.1);}endTime = clock();duration = (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SECOND / MAX_Time;//printf("ticks2=%f\n",(double)(endTime-startTime));printf("duration2=%.10lf s\n", duration);
}

9次多项式

99次多项式

clock()函数：

clock()：捕捉从程序开始运行到clock()被调用所消耗的时间。时间单位是clock tick。
clock_t：clock()函数返回的变量类型
头文件：ctime
定义时间常数：

const double CLOCKS_PER_SECOND = ((clock_t)1000);
其中，CLOCK_PER_SECOND这个常量表示每一秒（per second）有多少个时钟计时单元
const double CLOCKS_PER_MILLISECOND = ((clock_t)1);
其中，CLOCK_PER_SECOND这个常量表示每毫秒（per millisecond）有多少个时钟计时单元

具体步骤：

clock_t start, end;

记录开始时间：start = clock();

写代码块

记录结束时间：end = clock();

输出运行时间：cout << (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SECOND << "s" << endl;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;const double CLOCKS_PER_SECOND = ((clock_t)1000);
const double CLOCKS_PER_MILLISECOND = ((clock_t)1);
clock_t start,end;int main()
{start=clock();MyFunction();// 代码块end=clock();cout<<(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SECOND<<"s"<<endl;cout<<(double)(end-start)/CLOCKS_PER_MILLISECOND<<"ms"<<endl;}

HDU1212——Big Number

题意：【大整数取模】

给你一个长度不超过1000的大数A，还有一个数值不超过100000的B，快速求A % B。

分析：

由秦九韶算法可知，任意一个整数可以拆分为：

例如：

则大整数取模，就可以转化为n个多项式每步取模。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;string str;
int mod;int Horner()
{int ans=0;for(int i=0;i<str.size();i++){ans=(ans*10+str[i]-'0')%mod;}return ans;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);while(cin>>str){cin>>mod;cout<<Horner()<<endl;}return 0;
}

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