【物理】复合场中配速法

∣ 配速法 Nightguard Series. ∣ \begin{vmatrix}\Huge{\textsf{ 配速法 }}\\\texttt{ Nightguard Series. }\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣ 配速法 Nightguard Series. ∣∣∣∣∣

如图，竖直面内有一直角坐标系，坐标系第二象限内有磁感应强度为 B B B 的匀强磁场。质量为 m m m，带电量为 q q q 的小球从坐标原点由静止释放，试分析小球的运动过程。不可忽视小球的重力。

重力使得小球在磁场内不能再做匀速圆周运动，这就使问题变得复杂起来。因此便有了配速法（当然这种题目还有一种做法涉及积分，笔者太菜了完全不会做QAQ所以没有啦QWQ

♣ 关键一步：“0的分解” \Large\clubsuit \texttt{关键一步：“0的分解”} ♣关键一步：“0的分解”

现在我们要把小球的初速度分解

啊小球的初速度不是0吗？

请看：

我们把小球的速度分解为两个等大反向的速度，它们的合速度为0。

为什么是 v = m g q B v=\frac{mg}{qB} v=qBmg呢？

我们的目的在于，想办法用洛伦兹力 抵消掉小球重力的效果。

请看右侧的分速度 v 1 v_1 v1，它的效果是：使小球受到竖直向上的洛伦兹力，且

f = q v B = q ⋅ m g q B ⋅ B = m g f=qvB=q\cdot\frac{mg}{qB}\cdot B=mg f=qvB=q⋅qBmg⋅B=mg

所以它抵消了小球的重力。因此小球在 v 1 v_1 v1 方向（水平方向）上的分运动中受力平衡，做匀速直线运动。

现在看左侧的分速度 v 2 v_2 v2，对于轨迹上任意一个时刻，不论 v 2 v_2 v2 方向如何变化，由于 v 1 v_1 v1 的效果已经和重力抵消，所以可以抛开 v 1 v_1 v1 和重力单独分析 v 2 v_2 v2。 它的效果是：使小球受到一个指向圆心的洛伦兹力并做圆周运动 ，可求半径

r = m v q B = m ⋅ m g q B q B = m 2 g q 2 B 2 r=\frac{mv}{qB}=\frac{m\cdot \frac{mg}{qB}}{qB}=\frac{m^2g}{q^2B^2} r=qBmv=qBm⋅qBmg=q2B2m2g

则圆周运动的圆心为 ( 0 , − m 2 g q 2 B 2 ) (0,-\frac{m^2g}{q^2B^2}) (0,−q2B2m2g)

由此画出小球的运动轨迹如下：

小球的运动轨迹为一条摆线（这个摆线方程把ggb卡爆了，最后甚至没有显示最低点处的图像）

由图可知，小球最低可以运动到 y = − 2 r y=-2r y=−2r处；由机械能守恒得，最高可以回到 y = 0 y=0 y=0 处，此时 v = 0 v=0 v=0，相对起始位置位移 x = T ⋅ v 1 x=T\cdot v_1 x=T⋅v1，然后做周期运动，周期为圆周运动的周期 T = 2 π r v 2 T=\frac{2\pi r}{v_2} T=v22πr 。

小球再次到达 y = 0 y=0 y=0 时， v 1 , v 2 v_1, v_2 v1,v2 方向相反，速度最小，为 0 0 0；小球到达最低处 y = − 2 r y=-2r y=−2r 时， v 1 , v 2 v_1, v_2 v1,v2 方向相同，速度最大，为 2 v 1 2v_1 2v1。

（获得成就：用ggb画物理

例题

1.2022新高考甲卷第5题

2.2021福州一检压轴

3.电场+磁场叠加（同理

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