文章目录

第三章向量
- 3.1 概念，运算
- - 3.1.1 基本概念
  - 3.1.2 运算
- 3.2 线性表出，相关无关，向量组
- - 3.2.1 概念
  - 3.2.2 推论 & 定理
- 3.3 矩阵的秩，向量组的秩
- - 3.3.1 矩阵的秩
  - - 3.3.1.1 基本概念
    - 3.3.1.2 秩的性质
    - 3.3.1.3 心得
  - 3.3.2 向量组的秩
  - - 3.3.2.1 基本概念
    - 3.3.2.2 性质
    - 3.3.2.3 技巧
- 3.4 正交矩阵，正交化
- - 3.4.1 概念
  - 3.4.2 性质
  - 3.4.3 相关方法
  - - 单位化
    - 正交化
- 4. 二轮
- - 4.1 解题技巧：外积的秩

第三章向量

3.1 概念，运算

3.1.1 基本概念

n维向量，向量a的分量，行向量，列向量，两个向量同维

向量组：若干个同维数的行向量组成的集合

延伸组，缩短组：前n维数的行向量相同，延伸组维度更高，缩短组维度更低。

3.1.2 运算

加法：对应维度相加

数乘：全部维度乘数

向量的内积：n维行向量α，β,类似矩阵乘法，行向量乘列向量得到一个数。也称**（点乘／数量积）**。就是两个向量对应位相乘之后求和的操作。

施密特正交化：设向量组a1,a2,a3线性无关
β1=α1β_1 = α_1 β1=α1

β2=α2−(α1,β1)(β1,β1)β1β_2 = α_2 - \frac{(α_1,β_1)}{(β_1,β_1)}β_1 β2=α2−(β1,β1)(α1,β1)β1

β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2β_3 = α_3 - \frac{(α_3,β_1)}{(β_1,β_1)}β_1- \frac{(α_3,β_2)}{(β_2,β_2)}β_2 β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2

3.2 线性表出，相关无关，向量组

3.2.1 概念

向量组α的一个线性组合：
k1α1+k2α2+...+kmαmk_1α_1 + k_2α_2 + ... + k_mα_m k1α1+k2α2+...+kmαm
向量β可由向量组α的线性表出：
β=k1α1+k2α2+...+kmαmβ = k_1α_1 + k_2α_2 + ... + k_mα_m β=k1α1+k2α2+...+kmαm
线性相关：k1，k2…不全为0：
k1α1+k2α2+...+kmαm=0k_1α_1 + k_2α_2 + ... + k_mα_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0

3.2.2 推论 & 定理

含有零向量，相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的。
考察向量组的线性相关性 == 对应齐次方程组是否有非零解

若有非零解，则为线性相关<==> 秩<m
若仅有零解，则为线性无关

n个n维向量线性相关，这些向量相乘的行列式为0
n+1个n维向量必线性相关

定理：

部分组相关，整体组相关。整体组无关，部分组无关。
若n维向量组线性无关，增加了向量β后向量组线性相关，那么向量β可以由原本的向量组线性表出，且表示法唯一。

线性无关:
当k1a1+k2a2+...+ksas=0时，必有k1=0,k2=0...ks=0。当k_1a_1+k_2a_2+...+k_sa_s=0时，必有k_1 = 0,k_2=0...k_s=0。当k1a1+k2a2+...+ksas=0时，必有k1=0,k2=0...ks=0。
经典题目：

已知a1,a2,a3线性无关，证明a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关。

3.3 矩阵的秩，向量组的秩

3.3.1 矩阵的秩

3.3.1.1 基本概念

k阶子式：m*n矩阵A中任取k阶的行和列组合新的行列式。

矩阵的秩r：存在r阶子式的D!=0，且所有的r+1阶子式（如存在）全为0。r(A) = r

（人话：不等于0的行列式最高有几阶。）

规定：零矩阵的秩为0，若秩大于0，则不是零矩阵。

基本意义：
r(A)=r⟺矩阵A中非零子式的最高阶数是rr(A) = r \iff 矩阵A中非零子式的最高阶数是r r(A)=r⟺矩阵A中非零子式的最高阶数是r

r(A)<r⟺矩阵A中每一个r阶子式都是0r(A) < r \iff 矩阵A中每一个r阶子式都是0 r(A)<r⟺矩阵A中每一个r阶子式都是0

r(A)≥r⟺矩阵A中存在r阶子式不全为0r(A) ≥ r \iff 矩阵A中存在r阶子式不全为0 r(A)≥r⟺矩阵A中存在r阶子式不全为0

3.3.1.2 秩的性质

设A是n阶矩阵，阶数与可逆的关系

r(A)=n⟺∣A∣!=0⟺A可逆r(A) = n \iff |A|!=0 \iff A可逆 r(A)=n⟺∣A∣!=0⟺A可逆

矩阵的最大阶数取决于最短的边

0<=r(Amn)<=min(m,n)0<= r(A_{mn})<= min(m,n) 0<=r(Amn)<=min(m,n)

矩阵转置的秩不变：

r(AT)=r(A)r(A^T) = r(A) r(AT)=r(A)

伴随矩阵的秩A*的秩有三种情况：0,1和n。

两个矩阵相加的秩一定不大于两个矩阵秩的和
r(A+B)<=r(A)+r(B)r(A+B) <= r(A) + r(B) r(A+B)<=r(A)+r(B)
矩阵倍乘一个数，秩不会变
r(kA)=r(A)r(kA) = r(A) r(kA)=r(A)
矩阵相乘的秩不大于两个矩阵的最小的秩
r(AB)<=min(r(A),r(B))r(AB) <= min(r(A),r(B)) r(AB)<=min(r(A),r(B))

7. 经初等变换，矩阵的秩不变

推论：若P、Q可逆，则存在r(PAQ) = r(A)

若A是m*n矩阵，B是n*s矩阵
AB=O→r(A)+r(B)<=nAB=O \rightarrow r(A)+r(B)<=n AB=O→r(A)+r(B)<=n
特殊分块矩阵的秩的计算

r[AOOB]=r(A)+r(B)r\left[ \begin{matrix} A & O \\ O & B \\ \end{matrix} \right] =r(A) + r(B) r[AOOB]=r(A)+r(B)

三秩相等：矩阵A的秩=行向量组的秩=列向量组的秩
r(A)=r(α)=r(β)r(A) = r(α) = r(β) r(A)=r(α)=r(β)
涉及到向量组的秩，3.3.2再提一次。

3.3.1.3 心得

遇到秩的题目，需要使用概念或者通过行列式变化，表示对应矩阵的行列式的值。通过判定它们的关系r(A)和n，判定变量。

3.3.2 向量组的秩

3.3.2.1 基本概念

极大线性无关组：挑出来的一个向量组线性无关，再增加任何一个向量，向量组就线性相关，那么挑出来的向量组就是原向量组的一个极大线性无关组。

向量组的秩：向量组的极大线性无关组的向量个数

向量组的线性表出：向量组(I)中的每一个向量都可以由向量组(II)里面的向量线性表出，称向量组(I)可以由向量组(II)线性表出。

等价向量组：两个向量组可以互相线性表出

（类比：矩阵A和B等价，A经过初等变换得到矩阵B）

矩阵等价，向量组可以不等价。

3.3.2.2 性质

向量组的极大无关组一般不唯一，但是向量个数是一样的。
本身就是线性无关的向量组，它的极大线性无关组就是它自己。
只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组。
若向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则r(I)<=r(II)
三秩相等，直接举例子。

3.3.2.3 技巧

求一个向量组的极大线性无关组：把那些列向量横向拼起来，做初等行变换，得到阶梯型矩阵。每行第一个非0数在第几列，极大线性无关组就是哪几个列向量组成。

3.4 正交矩阵，正交化

出现场景：二次型，特征值。（预热一下）

3.4.1 概念

n阶矩阵A，满足：
AAT=ATA=EAA^T = A^TA = E AAT=ATA=E

3.4.2 性质

根据可逆的定义：

A−1=ATA^{-1} = A^{T} A−1=AT

对应的行列式的值

过程：∣AAT∣=∣A∣∣AT∣=∣A∣2=∣E∣=1过程：|AA^T| = |A||A^T| = |A|^2 = |E| = 1 过程：∣AAT∣=∣A∣∣AT∣=∣A∣2=∣E∣=1

结论：∣A∣=1或∣A∣=−1结论：|A| = 1 或 |A| = -1 结论：∣A∣=1或∣A∣=−1

A的行（列）向量都是单位向量且两两正交

3.4.3 相关方法

单位化

这个比较简单，令向量的平方和为1，可以提取出公因数。

正交化

单个向量的正交化求解：未知向量a3，与已知向量a1，a2正交。求a3

设a3 = （x1，x2，x3）
通过内积都为0，构造方程
{a3Ta1=0a3Ta2=0\left\{ \begin{aligned} a_3^Ta_1 = 0 \\ a_3^Ta_2 = 0 \\ \end{aligned} \right. {a3Ta1=0a3Ta2=0
平方和为1，单位化

施密特正交化：通过线性无关的向量组求对应的正交化向量组

4. 二轮

4.1 解题技巧：外积的秩

证明过程：

【考研线代】三. 向量相关推荐

2021 考研线代知识点整理
文章链接 https://gitee.com/fakerlove/linear-algebra 2021 考研线代(34分) 选择2个填空题 1个解答2 个文章目录 2021 考研线代(34分) ...
正交变换最强总结笔记，解决每一个考研线代人的理解难关
所有学线代的人都必须透彻理解和应用正交变换. 正交变换图形上最直观的作用是:一巴掌把歪七扭八的图形打正,如下: 而图形立正后,表达式也随之立正,xixj{x_{i}x_{j}}xixj群魔退散,平 ...
下载线代薛威_考研线代李永乐真的首选吗？
20考研狗,复习线性代数之前在B站上看了两个小时的视频(线性代数的本质)从向量的角度诠释了线性代数. 对理解线代很有帮助. 六月份开始复习线代,在这之前,听了市面上绝大多数老师的视频课,感觉讲的不够细 ...
【考研线代】二. 矩阵
文章目录第二章矩阵 2.1 概念,运算 2.1.1 概念 2.1.2 运算 2.1.3 运算法则 2.2 伴随矩阵,可逆矩阵(非奇异矩阵) 2.2.1 伴随矩阵 2.2.2 可逆矩阵 2.3 初等 ...
【考研线代】五. 特征值和特征向量
文章目录第五章特征值和特征向量 5.1 特征值,特征向量 5.1.1 概念 5.1.2 性质 & 定理 & 推论 ⭐ 5.1.3 求特征值和特征向量的方法数值型矩阵抽象型矩阵 ...
【考研线代】一. 行列式
文章目录第一章行列式 1.1 行列式的概念 1.2 行列式的性质 1.3 行列式的展开与计算 1.4 克拉默法则第一章行列式 1.1 行列式的概念行列式是一个数,是不同行不同列元素乘积的代数 ...
【考研线代】六. 二次型
文章目录第六章二次型 6.1 二次型及其标准形 6.1.1 概念 6.1.2 合同基本性质 6.1.3 题型 6.2 正定二次型 6.2.1 概念 6.2.2 定理 6.3 补充:解题技巧 6.3 ...
考研线代---pdf文档百度网盘自取
链接:https://pan.baidu.com/s/1XPJq3xSHElKT4uGarpdDtg 提取码:wtm0 –来自百度网盘超级会员V3的分享如果内容过期,请留言,我会不定期更新内容
0~75%考研数学线代
线代挺喜欢线代的,线代比高数有意思,学得很认真.比较遗憾强化部分没有整理完,可能短时间内不会补了,或者不会补了,上传到博客记录一下伏案书写的时光和遗憾. 用书:考研线代杨超笔记

【考研线代】三. 向量

文章目录

第三章向量

3.1 概念，运算

3.1.1 基本概念

3.1.2 运算

3.2 线性表出，相关无关，向量组

3.2.1 概念

3.2.2 推论 & 定理

3.3 矩阵的秩，向量组的秩

3.3.1 矩阵的秩

3.3.1.1 基本概念

3.3.1.2 秩的性质

3.3.1.3 心得

3.3.2 向量组的秩

3.3.2.1 基本概念

3.3.2.2 性质

3.3.2.3 技巧

3.4 正交矩阵，正交化

3.4.1 概念

3.4.2 性质

3.4.3 相关方法

单位化

正交化

4. 二轮

4.1 解题技巧：外积的秩

【考研线代】三. 向量相关推荐

最新文章

热门文章

【考研线代】三. 向量

文章目录

第三章 向量

3.1 概念，运算

3.1.1 基本概念

3.1.2 运算

3.2 线性表出，相关无关，向量组

3.2.1 概念

3.2.2 推论 & 定理

3.3 矩阵的秩，向量组的秩

3.3.1 矩阵的秩

3.3.1.1 基本概念

3.3.1.2 秩的性质

3.3.1.3 心得

3.3.2 向量组的秩

3.3.2.1 基本概念

3.3.2.2 性质

3.3.2.3 技巧

3.4 正交矩阵，正交化

3.4.1 概念

3.4.2 性质

3.4.3 相关方法

单位化

正交化

4. 二轮

4.1 解题技巧：外积的秩

【考研线代】三. 向量相关推荐

最新文章

热门文章

第三章向量