皮亚诺算术体系 【第一章 自然数串】(数理哲学导论)
最近在阅读罗素大神的数理哲学导论，本书是罗素继1903年问世的《数学原则》和1910-1913年出版的三大卷黄黄巨著《数学原理》之后所写的一本书，本来是想直接开肝数学原理的，但是数学原理一书因为内容艰深晦涩，国内似乎并没有中文版的，但是在网上看到了这本书，这本书罗素在谈到时，把它称之为数学原理一书的导论，或者半普及本，这本较之于数学原理更容易上手，于是趁着有空，打算看完这本书。
我们对于自然数虽是熟悉，却并没有了解。什么是“数”，什么是"0"，什么是"1"，很少有人严格解释过，更不用下定义，Peano在1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统。
一、定义
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：
Ⅰ、X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱ、x不在f的像集内；
Ⅲ、f为一单射。
Ⅳ、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A，则A=X。
二、加法的定义
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：
Ⅰ、∀m∈N，0 +m =m；
Ⅱ、∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
加法性质:
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
= 2 （根据自然数的公理）结合律
任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。
由公理Ⅴ，命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。
m'=1+m
当m = 0 时，1+m=1+0=0'+0=(0+0)'=0'，命题成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。
m'=m+1
当m= 0 时，对于m'，m'=0'=1=0+1=m+1,命题成立。对(m‘)'，(m’)'=(m+1)'=m'+1，命题也成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。
m+0=m
（1）当m=0 时，m+0=0+0=0，m=0，于是m+0=m成立，即m+0=m在m=0时成立；
交换律
当n=0时，对于n，n+m=0+m=m=m+0=m+n，对于n'，n'+m=(n+m)'=(m+n)'=m'+n=m+1+n=m+0'+n=m+(0+n)'=m+n'，交换律成立。
由公理Ⅴ，即知交换律对于n的其他自然数取值也成立。
乘法的定义
乘法是满足以下两种规则的运算：
Ⅰ∀自然数m，m · 0 = 0 ；
Ⅱ∀自然数m，n，m · n' = m ·n +m 。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的乘法定义，任意两个自然数相乘的结果都能确定出来了。
乘法分配律
m·(n+k)=m·n+m·k。
证明：
当n=0时, m·(0+k)=m·k =0+m·k=m·0+m·k，
因此乘法分配律对n=0成立。
假设结论对n成立, 下证结论对n'成立。
m·(n'+k)=m·(n+k)' (加法定义)
=m·(n+k)+m (乘法定义)
=(m·n+m·k)+m (归纳假设)
=m·n+(m·k+m)=m·n+(m+m·k)=(m·n+m)+m·k(加法结合律、交换律)
=m·n'+m·k (乘法定义), 因此结论对n'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法分配律成立。
乘法结合律
假设结论对k成立, 即(m·n)·k=m·(n·k)。 下证结论对k'成立。
=(m·n)·k+m·n (归纳假设), 因此结论对k'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法结合律成立。
0·n=0
因此, 0·n'=0, 结论对n'也成立, 由数学归纳原理知，结论成立。
n'·m=n·m+m
=0 (加法定义), 因此n'·0=n·0+0, 结论成立。
假设结论对m成立, 即n'·m=n·m+m. 下证结论对m'成立。
乘法交换律
减法和除法
定义整数为自然数对（a,b）；定义：如果a+d=b+c，则(a,b)=(c,d)；定义整数加法为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)；定义(a,b)的相反数为（b,a）。将(a,0)和a等同。则可以证明自然数是整数的一部分，加法的定义是相符的。这样，在整数上，我们有相反数的概念。整数和它相反数的和是0，0和任意整数的和是其自身。在整数上，定义a-b为a+(-b)。可以验证，这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的。
进一步定义有理数为整数对[a,b]，其中b非零。定义[a,b]=[c,d]如果ad=bc。定义有理数乘法为[a,b][c,d]=[ac,bd],定义[a,b]的倒数为[b,a]，如果a,b非零。定义有理数加法为[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]，定义[a,b]的相反数为[-a,b]，定义a-b为a+(-b)。将[a,1]和a等同，则可以证明整数是有理数的一部分，加法减法乘法的定义是相符的。这样，在非零有理数上，我们有倒数的概念。非零有理数和它倒数的积是1，1和任意有理数的积是其自身。在有理数上，定义a/b为a(1/b)，如果b非零。可以验证，这样的定义与通常理解的有理数加减乘除法是一致的。
参考：
1.数理哲学引论 P9 第一章自然数串
2.百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%9A%AE%E4%BA%9A%E8%AF%BA%E5%85%AC%E7%90%86/6218666?fr=aladdin
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