精度及3σ（三西格马定律）

遇到一个疑惑，来CSDN找寻答案~~

前言

“

技术指标

图像识别误差：±5μm/3σ

XY 台重复定位精度：±2μm/3σ；

”

3σ是什么？为什么精度后面跟一个3σ？

σ是指正态分布中的标准差，正态分布我们学过，但是3倍的标准差和精度的关系。。？

正文

1 正态分布

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布。高斯对于正态分布的历史地位的确立起到了决定性的作用。

高斯的头像和正态密度曲线

正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的，可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。

2 3σ准则（68–95–99.7原则）

在统计上，68–95–99.7原则是在正态分布中，距平均值小于一个标准差、二个标准差、三个标准差以内的百分比，更精确的数字是68.27%、95.45%及99.73%。即为3σ准则：
数值分布在（μ-σ,μ+σ)中的概率为0.6827；
数值分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率为0.9545；
数值分布在（μ-3σ,μ+3σ)中的概率为0.9973；

可以认为，一个正态分布的数据集的取值几乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。

在实验科学中有对应正态分布的三西格马定律（three-sigma rule of thumb），是一个简单的推论，内容是“几乎所有”的值都在平均值正负三个标准差的范围内，也就是在实验上可以将99.7%的机率视为“几乎一定”。不过上述推论是否有效，会视探讨领域中“显著”的定义而定，在不同领域，“显著”（significant）的定义也随着不同，例如在社会科学中，若置信区间是在正负二个标准差（95%）的范围，即可视为显著。但是在粒子物理中，若是发现（英语：Discovery (observation)）新的粒子，置信区间要到正负五个标准差（99.99994%）的程度。

在不是正态分布的情形下，也有另一个对应的三西格马定律（three-sigma rule），即使是在非正态分布的情形下，至少会有88.8%的机率会在正负三个标准差的范围内，这是依照切比雪夫不等式的结果。若是单模分布（unimodal distributions）下，正负三个标准差内的机率至少有95%，若一些符合特定条件的分布，机率至少会到98%。

3 3σ准则下的精度指标

回到技术指标“±5μm/3σ”，就是指99.73%概率设备图像识别精度为5μm，理论上有0.27%的概率达不到5μm这个精度。

进行设备的精度评估时，根据测量的数据集得出标准差σ后，就得出这个设备在特定概率下的精度。举例来说，假设计算得出的σ为1μm，则结论就是：在68.27%概率下设备精度1μm，在95.45%概率下设备精度为2μm，在99.73%概率下设备精度为3μm，与设备要求的精度指标对比，就可评价该设备是否满足精度要求。

设备的精度应该都是在一定概率条件下的，比如说标明1μm精度(3σ)指标的设备，理论上依然有0.27%的概率达不到1μm这个精度，而标明1μm精度(1σ)指标的设备，理论上就有31.73%的概率达不到1μm这个精度，但这并不是说该设备就不合格不能用，而是要根据自己的使用要求来评估这个设备是否适合用。这也说明，很多设备只提精度指标，而不标注是几个σ条件下，是不严谨和不完整的。

实际工程中，由于3σ的概率≈1，所以3σ的精度指标一般就是要求设备数据集的标准差σ必须小于所提的精度的1/3。