从Schrödinger方程和Heisenberg方程的等价性看Kalman滤波器和Gauss-Newton的等价性

Schrödinger equation:
−iℏ∂ψ∂t=H^ψ-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H}\psi−iℏ∂t∂ψ=H^ψ
Heisenberg equation:
a˙(t)=Ha(t)\dot{a}(t)=Ha(t)a˙(t)=Ha(t)

from Schrödinger to Heisenberg:
Let ψ=Σi=0Nai(t)ϕi(r⃗)\psi=\Sigma_{i=0}^{N} a_i(t)\phi_i(\vec{r})ψ=Σi=0Nai(t)ϕi(r)
then: ∂ψ∂t=Σi=0Na˙i(t)ϕi(r⃗)\frac{\partial \psi}{\partial t}=\Sigma_{i=0}^{N} \dot{a}_i(t)\phi_i(\vec{r})∂t∂ψ=Σi=0Na˙i(t)ϕi(r)
then: <∂ψ∂t,ϕk∗>=a˙k(t)<\frac{\partial \psi}{\partial t},\phi_k^{*}>=\dot{a}_k(t)<∂t∂ψ,ϕk∗>=a˙k(t)
then: <H^ψ,ϕk∗>=Σi=0Nai(t)<H^ϕi,ϕk∗><\hat{H}\psi,\phi^*_k>=\Sigma_{i=0}^{N}a_i(t)<\hat{H}\phi_i,\phi_k^*><H^ψ,ϕk∗>=Σi=0Nai(t)<H^ϕi,ϕk∗>
in all:
[a0a1...aN]˙=[<H^ϕ0,ϕ0∗>,<H^ϕ1,ϕ0∗>,<H^ϕ2,ϕ0∗>,...,<H^ϕN,ϕ0∗><H^ϕ0,ϕ1∗>,<H^ϕ1,ϕ1∗>,<H^ϕ2,ϕ1∗>,...,<H^ϕN,ϕ1∗>...<H^ϕ0,ϕN∗>,<H^ϕ1,ϕN∗>,<H^ϕ2,ϕN∗>,...,<H^ϕN,ϕN∗>][a0a1...aN]\dot{ \begin{bmatrix} a_0\\a_1\\...\\a_N \end{bmatrix}}= \begin{bmatrix} <\hat{H}\phi_0,\phi_0^*>, <\hat{H}\phi_1,\phi_0^*>, <\hat{H}\phi_2,\phi_0^*>,...,<\hat{H}\phi_N,\phi_0^*>\\ <\hat{H}\phi_0,\phi_1^*>, <\hat{H}\phi_1,\phi_1^*>, <\hat{H}\phi_2,\phi_1^*>,...,<\hat{H}\phi_N,\phi_1^*>\\...\\ <\hat{H}\phi_0,\phi_N^*>, <\hat{H}\phi_1,\phi_N^*>, <\hat{H}\phi_2,\phi_N^*>,...,<\hat{H}\phi_N,\phi_N^*> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0\\a_1\\...\\a_N \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡a0a1...aN⎦⎥⎥⎤˙=⎣⎢⎢⎡<H^ϕ0,ϕ0∗>,<H^ϕ1,ϕ0∗>,<H^ϕ2,ϕ0∗>,...,<H^ϕN,ϕ0∗><H^ϕ0,ϕ1∗>,<H^ϕ1,ϕ1∗>,<H^ϕ2,ϕ1∗>,...,<H^ϕN,ϕ1∗>...<H^ϕ0,ϕN∗>,<H^ϕ1,ϕN∗>,<H^ϕ2,ϕN∗>,...,<H^ϕN,ϕN∗>⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡a0a1...aN⎦⎥⎥⎤
Kalman Filter:
Xk+1=AXk+Buk+wX_{k+1}=AX_k+Bu_k+wXk+1=AXk+Buk+w
Yk=HXk+vY_{k}=HX_k+vYk=HXk+v
www~N(0,σ1\sigma_1σ1)
vvv~N(0,σ2\sigma_2σ2)

Gauss-Newton:
1-dimensional:
y=f(x)
y1−y0=f(x1)−f(x0)=f′(ξ)(x1−x0)y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0) \\=f^{'}(\xi)(x_1-x_0)y1−y0=f(x1)−f(x0)=f′(ξ)(x1−x0)
which is
Δy=f′(ξ)Δx\Delta y=f^{'}(\xi)\Delta xΔy=f′(ξ)Δx

suppose an NxM dimensional linear system:
y⃗=[f1(x⃗),f2(x⃗),f3(x⃗),...,fM(x⃗)]\vec y=[f_1(\vec x),f_2(\vec x),f_3(\vec x),...,f_M(\vec x)]y=[f1(x),f2(x),f3(x),...,fM(x)]

[Δy0Δy1...ΔyN]=[∂f0(x⃗)∂x0,∂f0(x⃗)∂x1,∂f0(x⃗)∂x2,...,∂f0(x⃗)∂xN∂f1(x⃗)∂x0,∂f1(x⃗)∂x1,∂f1(x⃗)∂x2,...,∂f1(x⃗)∂xN...∂fM(x⃗)∂x0,∂fM(x⃗)∂x1,∂fM(x⃗)∂x2,...,∂fM(x⃗)∂xN][Δx0Δx1...ΔxN]\begin{bmatrix} \Delta y_0\\\Delta y_1\\...\\\Delta y_N \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_0(\vec x)}{\partial x_0}, \frac{\partial f_0(\vec x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f_0(\vec x)}{\partial x_2},...,\frac{\partial f_0(\vec x)}{\partial x_N}\\ \frac{\partial f_1(\vec x)}{\partial x_0}, \frac{\partial f_1(\vec x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f_1(\vec x)}{\partial x_2},...,\frac{\partial f_1(\vec x)}{\partial x_N}\\...\\ \frac{\partial f_M(\vec x)}{\partial x_0}, \frac{\partial f_M(\vec x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f_M(\vec x)}{\partial x_2},...,\frac{\partial f_M(\vec x)}{\partial x_N} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x_0\\\Delta x_1\\...\\\Delta x_N \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡Δy0Δy1...ΔyN⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡∂x0∂f0(x),∂x1∂f0(x),∂x2∂f0(x),...,∂xN∂f0(x)∂x0∂f1(x),∂x1∂f1(x),∂x2∂f1(x),...,∂xN∂f1(x)...∂x0∂fM(x),∂x1∂fM(x),∂x2∂fM(x),...,∂xN∂fM(x)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡Δx0Δx1...ΔxN⎦⎥⎥⎤
但是这边两个矩阵的形式有点类似，实质上还是有比较大的差别的，一个是状态系数的时间演化，另一个是变量的增量和自变量的增量之间的关系。后者就是一个典型的映射变换，所以需要一个Jacobian。相对应的，海森堡方程的矩阵是一个内涵的。

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