渗流模型(Percolation )
1 标度行为
标度行为(Scaling)是现在复杂系统研究中的一个非常典型的现象,它体现为系统的若干宏观指标或者某个变量的分布函数满足具有不同幂指数的幂律行为。
也就是说,标度行为是一种现象,这种现象满足幂律分布。
2 渗流模型
2.1 什么是渗流?
渗流是指流体在孔隙介质中的流动。
渗流状态,是指系统中出现一个大的集群,能够将这些集群节点的和邻居节点的边界打通、渗透(只考虑上下左右四个方向的邻居,集群即团簇)。
2.2 渗流理论
渗流理论是随机图理论研究中的一个重要发现是存在出现巨大节点集群的临界概率。即网络具有临界概率pcp_{c}pc ,当不超过pcp_{c}pc 时,网络由孤立的节点集群组成,但是当超过pcp_{c}pc 时,巨大节点集群将扩展到整个网络。(临界概率pcp_{c}pc 和集群下面会介绍)
2.3 相变
系统中的某种宏观状态随着某一个参数的变化而发生突然的变化。
严格来讲,渗流模型中的相变应称之为二级相变,或者连续相变。它是指系统的热力学函数(熵、自由能)等没有发生突变,而是热力学函数的导数发生突变,但在此处我们不去严格地讨论这些区别。
2.4 渗流模型的讲解
举个简单的例子,我们考虑 L×L{\color {Red}L\times L}L×L的格子,我们一个一个地遍历白色格子,以概率为ppp去给这些格子染色。我们到第一个格子,就抛一枚硬币,假设这枚硬币正反面不均匀,正面出现的概率为ppp,反面出现的概率为1−p1-p1−p。
如果硬币出现正面,那么我就把当前格子染成黑色;如果硬币出现反面,那么我就不用管,让格子保留原来的白色。
如下图所示,是一个 10×1010\times1010×10 的格子图:
接下来,我们再对这些黑色的格子进行染色,也就是说我们会把一大片相通的黑色格子染成一同一种颜色,而两片彼此不相通的格子就用不同的颜色来染。
两个格子相通,指的是能找到相邻(只考虑上下左右)节点。我们把相通的同颜色的格子叫做团簇(Cluster)。
对上图进行染色后,如图所示:
图中一共有8个不同的团簇(Cluster),因此我们用8种不同的颜色对它们进行染色。注意,橙黄色(第八行第一列)和红色(第七行第二列)两个格子没有相邻,因为他们是对角线的关系,而没有在上下左右四个方向之一相连。
我们知道概率ppp是一个关键的参数,因为ppp的值不同,黑色格子的密度也不同,即团簇的大小不一样。显然,当黑色格子密度大的时候,很容易形成团簇;如果密度小的话,格子之间很难形成团簇。
p取值不同,在100*100格子中形成团簇的效果
当 p=0.4p=0.4p=0.4 时:
当 p=0.59p=0.59p=0.59 时:
当 p=0.7p=0.7p=0.7 时:
总结:
- 当 p=0.7p=0.7p=0.7 时候,我们用红色来标记最大的团簇。当 p<0.59p<0.59p<0.59 时, 这些团簇较小,因为他们彼此不连通,所以我们需要用较多的颜色来标识这些团簇。当 p>0.59p>0.59p>0.59 时,团簇相对较大,所以涂色的种类也相对较少。当 p=0.59p=0.59p=0.59 时, 既存在较大的团块,又用各种颜色来给他们染色。
- p=0.59p=0.59p=0.59 是一个"奇点",也就是临界值,这是科学家们经过在L趋于无穷时候,理论计算出来的一个数值,理论值为: pc=0.59274621p_{c}=0.59274621pc=0.59274621 。也就是说,当 p>0.59p>0.59p>0.59 时,系统开始出现渗流。
2.5 相变实验图解
- 横坐标:p的取值
- 纵坐标:最大的团簇的尺寸(方格数)
我们来做这样的实验,我让参数 ppp 从0.1到0.9取不同的数值,然后我计算在每个不同取值p的时候,出现的最大的团簇的尺寸(方格数)SmaxS_{max}Smax,我把 ppp 当作横坐标最大团簇的尺寸数作为纵坐标。
由于系统是随机的系统,这样每次给定p后,我们计算的最大团簇尺寸都不一样。为了避免随机扰动,我们便进行系综平均(由于计算时间很长,每个参数我们只做了15次实验)。然后将不同系统尺寸(L的不同值)情况下的Smax−pS_{max}-pSmax−p的曲线画出。
无论L的取值,所有曲线都是单调递增的,并且随着L的增大,曲线递增得越陡。尤其是对于较大的L(如L=150),曲线就会在0.6附近发生严重的突变。这时,这种突变就成为相变。
由此推测,如果我们继续提高L的值,那么曲线会更抖而且相变点 ppp 就会越接近 pcp_cpc 。
2.6 团簇尺度分布
这里,我们来讨论一下渗流系统中各个团簇的尺寸的概率分布情况。
我们知道,渗流系统中每个团簇的尺度是不同的,为了表达出不同团簇的尺度的多样性,我们把团簇的尺寸看做一个随机变量,从而来研究这个随机变量的概率分布。
下面这张图展示当 L=150L=150L=150,不同参数 ppp 条件下,团簇尺度的概率分布情况:
注意,这张图上的每一个数据点的物理意义是,在给定这个尺寸 xxx 的情况下,有多少比例的团簇落于小区间 x+dxx+dxx+dx 。
我们看到,随着 ppp 增大越来越接近临界点0.59的时候,分布曲线就越来越接近一条直线。
注意,这是双对数坐标{\color{Orange}双对数坐标}双对数坐标,也就是横坐标和纵坐标都取了对数,所以直线就意味着两个变量 xxx 和 yyy 满足幂律关系。针对 p=0.58p=0.58p=0.58 的情况下, 它的尺度分布密度函数可以拟合为 p(x)=0.37∗x−1.72p(x)=0.37*x-1.72p(x)=0.37∗x−1.72。
下图展示当 p>pcp>p_{c}p>pc 的分布情况:
当 p>pcp>p_{c}p>pc时,我们看到 ppp 偏离临界值 pcp_{c}pc 越多,分布曲线也越来越偏离幂律分布。
我们看到 p=0.7,0.8,0.9p=0.7,0.8,0.9p=0.7,0.8,0.9 的时候,曲线的尾部都是用直线来表示,是因为做实验的时候这些中间尺度不存在对应的团簇,所以都为0,但是在图像中,我们不用0来表示团簇尺寸,所以就出现了两个零星点之间用直线相连。
结尾
我们得出结论,在临界点附近,渗流系统的团簇尺度分布是满足幂律分布的,即一种标度行为。
原文出自于:渗流模型 - 集智百科
渗流模型(Percolation )相关推荐
- 如何查看python源代码_查看“使用python制造渗流模型”的源代码
因为以下原因,您没有权限编辑本页: 您所请求的操作仅限于该用户组的用户使用:用户 您可以查看和复制此页面的源代码.==简介== 关于渗流模型的简介我们可以看这个页面:[[渗流模型]] ==构建最基本的 ...
- PR规则下的网络渗流模型
PR规则下的网络渗流模型 定义:随机选择两条候选边,比较每条边两个端点所在子串大小乘积的大小,选择最小乘积的那条边. 效果如图所示:
- abaqus 三维基坑开挖渗流模型,含地下连续墙,内支撑,地下水渗流,流固耦合
abaqus 三维基坑开挖渗流模型,含地下连续墙,内支撑,地下水渗流,流固耦合,对于初学者,有一定基础的同学都值得学习模型设置 :9230646120100979Abaquser
- 渗流模型的实现与解读
什么是渗流: 流体渗流是指流体在孔隙介质中的流动. 渗流状态,是指系统中出现一个大的集群,能够将这些集群节点的和邻居节点的边界打通.渗透(只考虑上下左右四个方向的邻居,集群即团簇). 模型详解 首先, ...
- 元胞自动机模型_【ABM仿真模拟】第三章 元胞自动机 B
是新朋友吗?记得先点蓝字关注我哦- 第三章 元胞自动机 B 2020/01/23 3.3 投票模型(Voting) 课程导读 无论是国内国外,投票结果的预测都异常受到关注.在众多唐斯模型.中间选民模型 ...
- 岩土工程渗流问题之有限单元法:理论、模块化编程实现、开源程序手把手实操技术
有限单元法在岩土工程问题中应用非常广泛,很多商业软件如Plaxis/Abaqus/Comsol等都采用有限单元解法.尽管各类商业软件使用方便,但其使用对用户来说往往是一个"黑箱子" ...
- Plaxis Python 命令流自动化处理、岩土工程渗流问题之有限单元法
目录 岩土工程渗流问题之有限单元法:理论.模块化编程实现.开源程序手把手实操应用 基于python命令流及代码的Plaxis自动化建模与典型案例实践应用 岩土工程渗流问题之有限单元法:理论.模块化编程 ...
- signature=a17a4bd41394fcdda8c14667747c3f6d,高等渗流力学评介
第30卷 第2期 2000年5月95日 力学进展 ADVANCES IN MECHANICS Vd 30 No.2 May25,2000 ((高等渗流力学>评介 郭尚平 石油勘探开发科学研究院, ...
- 复杂性思维中文第二版 七、物理建模
七.物理建模 原文:Chapter 7 Physical modeling 译者:飞龙 协议:CC BY-NC-SA 4.0 自豪地采用谷歌翻译 到目前为止,我们所看到的细胞自动机不是物理模型:也就是 ...
最新文章
- 在CentOS 6.3 64bit下yum安装MySQL后重置root密码的方法
- BitcoinABC开发组相信BCH
- Windows Server 2003 R2 修复Windows Server 2003
- jQuery EasyUI API 中文文档 - 数字框(NumberBox)
- Git常用命令速查表
- Qt 使用代码编写的自定义控件类
- HP LaserJet 1010卡纸解决方法
- CellSet 遍历
- [Leetcode][第486题][JAVA][预测赢家][动态规划][递归]
- MscTeX警告Package fontspec Warning: Font “Songti SC Light“ does not contain requested(fontspec)的解决
- Web应用运行在pywebview在窗口
- 【LeetCode】【HOT】31. 下一个排列
- 使用xadmin更新数据时,报错expected string or bytes-like object
- 学生选课管理系统php,学生选课管理系统(全源代码.doc
- java 切割冒号_java split 冒号(java中split是什么意思啊)
- eclipse 中各种小图标含义
- vue input失焦事件
- 腾讯云服务器竞价实例是什么意思?
- 沐风:如何创造更多的睡后收入?
- 【Unity项目】仿《空洞骑士》项目