公理集合论还有什么问题？

公理集合论还有什么问题？ -------------------吕陈君

转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3eefe0890102x38p.html

因为康托素朴集合论中存在悖论，所以人们试图采用公理方法来一步步构造出合法的集合，把有问题的集合（即真类）都排除出去。公理集合论有好几个系统，但都是等价的，人们常用的是ZFC。

在ZFC中，已知的悖论都能排除，但其一致性至今仍未证明，所以，我们不知道它还会不会出现其他悖论。就像庞加莱比喻的：我们把羊围了起来，外面的狼进不来了，但不知道是否有狼已混在里面。

ZFC中，争议最大的公理就是选择公理。我们先来看看这条公理说的啥意思。其直观涵义就是：对一个无穷集合M，我们可以将其任一元素挑选出来构成一个集合。或者，还可以这样来理解，其任一元素都是“确定”的，那么就有

结论1：如果M的任一元素都是“确定”的，那么M的任一子集合N也都是“确定”的，因为N的任一元素都可以由选择公理挑选出来。

但是，人们发现，对自然数集W来说，上述结论很难自圆其说地说得过去。首先，并不是W的任一子集合都是可以“确定”的，因为W在ZFC中可定义的子集合是可数的，这就意味着，W还有大量的子集合在ZFC中是不可定义的，即在ZFC中是“不确定”的。

其次，对W的幂集合P(W)来说，在ZFC中也无法确定其大小2^w究竟是哪一个阿列夫Wn，也就说是，我们并不能确定P(W)就是一个良序集。而良序定理和选择公理是等价的，这就说明，至少在实数域上，选择公理并不严格成立。

正是由于上述潜在的“不确定性”，有许多数学家对于究竟W的哪些子集合可以被“确定”这一问题，仍然感到疑虑重重。

譬如，ZFC的提出者之一弗兰克尔就认为，子集合公理和选择公理产生的子集合可能跟标准意义上的子集合“有很大差别”，在没有搞清楚子集合的确切含义前，就不可能确定子集合的数目。他这句话的意思就是，由子集合公理和选择公理产生的子集合才是“确定”的，笼统地讲“M的所有子集合”是有问题的。

哥德尔也有类似的看法。譬如，他认为，“在还未解决什么样的对象要被计数以及在什么样的一一对应的基础之上计数的问题之前，人们几乎不能期望能够确定它们的个数”。所以，集合论中特别重要的一个问题就是：究竟哪些W的子集合才是可以“确定”的？所谓“确定”，究竟是指什么意思呢？

这个“确定”，当然是指要把W的子集合排列成一个良序集合G(W)，然后再确定它具有哪个超穷基数Wn。但G(W)不一定等于P(W)，也就是说，G(W)中不一定能包含下W的所有子集合，而只是可能“选择”出其一部分子集合来。我们只能确定G(W)的基数，而不一定能确定P(W)的基数。这就意味着，幂集合公理就不一定成立。

在ZFC中，幂集合公理是最值得怀疑的。许多数学家都指出过这个问题。譬如，莫斯托夫斯基就明确说过：“我不敢推测不同的集合论的这些不同的系统将如何判定是否存在非常高的幂的集合的问题”；王浩也说过类似的话：“在用新公理直接丰富幂集（例如整数集的幂集）的努力方面进展甚微”。柯恩也认为，连续统的势2^w就不是通过不断“+1”这种方式所构造出来的超穷基数可达到的。

所以，选择公理和幂集合公理是有内在矛盾的。弗兰克尔在一篇论文的注释里就隐约地提示过这个问题。他说，在一些怀疑主义者看来，选择公理只对可数集合成立，那么可数和不可数之间就没有什么区别了。这种观念，其实也是斯克伦定理的一种数学思想来源。

我们只有在数学家们有争议与疑惑的这些地方，才能看到真正的问题之所在。而这些内容是从教科书上看不到的，只有细读、深读原始论文才能领悟出来。

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