[组合数学]组合数有关的公式及常用求和

O(logn)求组合数

fac[maxn] = {1, 1, 2};
ll C(int n, int m){return (fac[n] * quickpow((fac[m] * fac[n - m]) % mod, mod - 2)) % mod;}
for (int i = 3; i < maxn; ++i) fac[i] = (i * fac[i - 1]) % mod;

O(n^2)递推求组合数

for(int i = 0; i < maxn; ++i){CC[i][0] = CC[i][i] = 1;for(int j = 1; j < i; ++j){CC[i][j] = (CC[i - 1][j] + CC[i - 1][j - 1]) % mod;}
}

重复组合(无限)
n种不一样的球，每种球的个数是无限的，从中选k个出来，组合数为 C n + k – 1 k C_{n + k – 1} ^ {k} Cn+k–1k。
不相邻的排列
从1 ~ n这n个自然数中选k个，这k个数中任何两个数不相邻数的组合为 C n – k + 1 k C_{n – k + 1} ^ {k} Cn–k+1k。

C n + 1 m = C n m n + 1 n − m + 1 C_{n+1}^m = C_n^m \frac{n + 1} {n - m + 1} Cn+1m=Cnmn−m+1n+1

以下公式来源来源：https://blog.csdn.net/bigtiao097/article/details/77242624
C n m = C n − 1 m − 1 + C n − 1 m C_n^m = C _{n-1}^{m-1}+C _{n-1}^{m} Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m
m C n m = n C n − 1 m − 1 mC_n^m = nC _{n-1}^{m-1} mCnm=nCn−1m−1
C n 0 + C n 1 + C n 2 + … … + C n n = 2 n C_n^0+C_n^1+C_n^2+……+C_n^n = 2^n Cn0+Cn1+Cn2+……+Cnn=2n
1 C n 1 + 2 C n 2 + 3 C n 3 + … … + n C n n = n 2 n − 1 1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+……+nC_n^n =n2^{n-1} 1Cn1+2Cn2+3Cn3+……+nCnn=n2n−1
1 2 C n 1 + 2 2 C n 2 + 3 2 C n 3 + … … + n 2 C n n = n ( n + 1 ) 2 n − 2 1^2C_n^1+2^2C_n^2+3^2C_n^3+……+n^2C _n^n =n(n+1)2^{n-2} 12Cn1+22Cn2+32Cn3+……+n2Cnn=n(n+1)2n−2
C n 1 1 − C n 2 2 + C n 3 3 + … … + ( − 1 ) n − 1 C n n n = 1 + 1 2 + 1 3 + … … + 1 n \frac{C_n^1}{1}-\frac{C_n^2}{2}+\frac{C_n^3}{3}+……+(-1)^{n-1}\frac{C _n^n}{n} =1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+……+ \frac{1}{n} 1Cn1−2Cn2+3Cn3+……+(−1)n−1nCnn=1+21+31+……+n1
( C n 0 ) 2 + ( C n 1 ) 2 + ( C n 2 ) 2 + … … + ( C n n ) 2 = C 2 n n (C_n^0)^2+(C_n^1)^2+(C_n^2)^2+……+(C _n^n)^2 = C_{2n}^n (Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+……+(Cnn)2=C2nn

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