与矩阵有关的四种子线性空间

符号：PPP——数域；
Pm×nP^{m\times n}Pm×n——m×nm\times nm×n矩阵的集合；
PnP^nPn——nnn元有序数组空间;
r(A)r(A)r(A)——AAA的秩.

一、预备知识

设矩阵A∈Pm×nA\in P^{m\times n}A∈Pm×n, 矩阵AAA的秩为r(A)=r.r(A)=r.r(A)=r. 设x∈Pn,x=(x1,x2,⋯ ,xn)Tx\in P^n,x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^Tx∈Pn,x=(x1,x2,⋯,xn)T为nnn维列

向量. y∈Pm,y=(y1,y2,⋯ ,ym)Ty\in P^m, y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)^Ty∈Pm,y=(y1,y2,⋯,ym)T为mmm维列向量.

1. 矩阵AAA的列向量组的线性组合的代数表示

将矩阵AAA按列分块，设其第iii列为αi\alpha_iαi, 则αi∈Pm,\alpha_i\in P^m,αi∈Pm, 换句话说，α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1,α2,⋯,αn是mmm维线性空间PmP^mPm中的向量组.

矩阵AAA乘以列向量xxx可以解释为矩阵AAA 的列向量组的线性组合，即

Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn.(1)Ax=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n. \quad \quad (1)Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn.(1)

2. 矩阵AAA的行向量组的线性组合的代数表示

若将矩阵AAA按行分块，设其第iii行为βiT\beta_i^TβiT, 则βiT∈Pn,\beta_i^T\in P^n,βiT∈Pn, 换句话说，β1T,β2T,⋯ ,βmT\beta_1^T, \beta_2^T, \cdots, \beta_m^Tβ1T,β2T,⋯,βmT是nnn维线性空间PnP^nPn中的向量组.

相应地，行向量yTy^TyT左乘以矩阵AAA可以解释为矩阵AAA的行向量组的线性组合, 即

yTA=y1β1T+y2β2T+⋯+ymβmT.(2)y^TA=y_1\beta^T_1+y_2\beta_2^T+\cdots+y_m\beta_m^T. \quad \quad (2)yTA=y1β1T+y2β2T+⋯+ymβmT.(2)

二、矩阵AAA的列空间

观察公式（1）, 若让向量xxx"跑遍"nnn维线性空间PnP^nPn, 则一切线性组合AxAxAx就构成PmP^mPm的一个子空间C(A)C(A)C(A)（注意：是PmP^mPm的子空间，因为Ax∈PmAx\in P^mAx∈Pm）,称为矩阵AAA的列空间. 这个空间用集合可以表示为

C(A)={Ax∣∀x∈Pn}.C(A)=\{Ax|\forall x\in P^n\}.C(A)={Ax∣∀x∈Pn}.

显然，这个列空间C(A)C(A)C(A)是由AAA的列向量组α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1,α2,⋯,αn生成的PmP^mPm的一个子空间，即是说，C(A)=L(α1,α2,⋯ ,αn).C(A)=L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n).C(A)=L(α1,α2,⋯,αn).

这样，列空间C(A)C(A)C(A)的基与维数的问题就解决了.

列空间C(A)C(A)C(A)的基就是向量组α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1,α2,⋯,αn 的极大线性无关组，而维数dim⁡C(A)=r(A)=r.\dim C(A)=r(A)=r.dimC(A)=r(A)=r.

三、矩阵AAA的零空间

矩阵AAA的零空间, 即齐次方程组Ax=0Ax=0Ax=0的解空间，记为N(A).N(A).N(A).
N(A)={x∣Ax=0,x∈Pn}.N(A)=\{x|Ax=0,x\in P^n\}.N(A)={x∣Ax=0,x∈Pn}.

矩阵AAA的零空间的基为齐次方程组Ax=0Ax=0Ax=0的基础解系；dim⁡N(A)=n−r(A)=n−r.\dim N(A)=n-r(A)=n-r.dimN(A)=n−r(A)=n−r.

四、矩阵AAA的行空间

将矩阵AAA按行分块，设

A=(β1Tβ2T⋮βmT).A=\begin{pmatrix}\beta_1^T\\ \beta_2^T\\\vdots\\\beta_m^T\end{pmatrix}.A=⎝⎜⎜⎜⎛β1Tβ2T⋮βmT⎠⎟⎟⎟⎞.

相应于列空间C(A)C(A)C(A), AAA的一切行向量的线性组合构成PnP^nPn的一个子空间，称为矩阵AAA的行空间，记为R(A).R(A).R(A).用集合表示为，

R(A)={yTA∣∀y∈Pm}.R(A)=\{y^TA|\forall y\in P^m\}.R(A)={yTA∣∀y∈Pm}.

同样，行空间可以解释为生成子空间：R(A)=L(β1T,β2T,⋯ ,βmT).R(A)=L(\beta_1^T,\beta_2^T,\cdots, \beta_m^T).R(A)=L(β1T,β2T,⋯,βmT).

由于行向量的转置是列向量，(yTA)T=ATy(y^TA)^T=A^Ty(yTA)T=ATy，而且同维行向量和列向量并无本质区别，所以，矩阵AAA的行空间与其转置矩阵的列空间可以看成是PnP^nPn的同一个子空间，即R(A)=C(AT).R(A)=C(A^T).R(A)=C(AT).

五、矩阵AAA的左零空间

矩阵AAA的左零空间指的是{y∣yTA=0}\{y|y^TA=0\}{y∣yTA=0},同上一节中的解释，矩阵AAA的左零空间等于ATA^TAT的零空间，故AAA的左零空间可以记为N(AT).N(A^T).N(AT).

由第三节中的结论可以得到下面的结果：

矩阵AAA的左零空间的基为齐次方程组ATy=0A^Ty=0ATy=0的基础解系；dim⁡N(AT)=n−r(A)=m−r.\dim N(A^T)=n-r(A)=m-r.dimN(AT)=n−r(A)=m−r.

六、关于矩阵的四种子空间的维数的重要结论

定理（1）dim⁡C(A)+dim⁡N(A)=n;\dim C(A)+\dim N(A)=n;dimC(A)+dimN(A)=n;
(2) dim⁡R(A)+dim⁡N(AT)=m.\dim R(A)+\dim N(A^T)=m.dimR(A)+dimN(AT)=m.

七、线性变换的值域空间和核空间与矩阵的列空间和零空间的关系

1. 值域空间的基于维数

定理设A\mathscr{A}A是nnn维线性空间VVV的线性变换，ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn是VVV的一组基，在这组基下A\mathscr{A}A的矩阵为AAA，则
（1） AV=L(Aε1,Aε2,⋯ ,Aεn);\mathscr{A}V=L(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n);AV=L(Aε1,Aε2,⋯,Aεn);
(2) dim⁡AV=r(A).\dim \mathscr{A}V=r(A).dimAV=r(A).

这个定理线性变换A\mathscr{A}A的值域空间与其矩阵AAA的列空间实际上是同构的，于是已知线性变换A\mathscr{A}A在某组基下的矩阵AAA时，可以通过求C(A)C(A)C(A)的一组基和维数来求得AV\mathscr{A}VAV的基和维数，这就转化为求AAA的极大无关组和秩。

下面举一个例子说明。

例1. 设ε1,ε2,ε3,ε4\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4ε1,ε2,ε3,ε4是线性空间VVV的一组基，已知线性变换σ\sigmaσ在此基下的矩阵为
A=(1021−121312552−21−2).A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}.A=⎝⎜⎜⎛1−112022−22151135−2⎠⎟⎟⎞.
求σ(V)\sigma(V)σ(V)的一组基与维数，并把它扩充为VVV的一组基.

解：因为σ(V)=L(σε1,σε2,σε3,σε4)\sigma (V)=L(\sigma\varepsilon_1,\sigma\varepsilon_2,\sigma \varepsilon_3,\sigma\varepsilon_4)σ(V)=L(σε1,σε2,σε3,σε4), 而σε1,σε2,σε3,σε4\sigma\varepsilon_1,\sigma\varepsilon_2,\sigma \varepsilon_3,\sigma\varepsilon_4σε1,σε2,σε3,σε4的坐标为AAA的列向量组，所以可以通过求AAA的列向量组的极大无关组来求得σε1,σε2,σε3,σε4\sigma\varepsilon_1,\sigma\varepsilon_2,\sigma \varepsilon_3,\sigma\varepsilon_4σε1,σε2,σε3,σε4的极大无关组的坐标，下面将AAA化为行阶梯形：

A=(1021−121312552−21−2)→(1021023400000000).A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&2&3&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.A=⎝⎜⎜⎛1−112022−22151135−2⎠⎟⎟⎞→⎝⎜⎜⎛1000020023001400⎠⎟⎟⎞.

由此可知，AAA的第一、二列为其极大无关组，所以，

σε1=ε1−ε2+ε3+2ε4,σε2=2ε2+2ε3−2ε4\sigma\varepsilon_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2+\varepsilon_3+2\varepsilon_4,\sigma\varepsilon_2=2\varepsilon_2+2\varepsilon_3-2\varepsilon_4σε1=ε1−ε2+ε3+2ε4,σε2=2ε2+2ε3−2ε4

为σV\sigma VσV的一组基，dim⁡σ(V)=2\dim \sigma (V)=2dimσ(V)=2。

为了把σV\sigma VσV的一组基扩充为VVV的一组基，添加向量ε3,ε4,\varepsilon_3,\varepsilon_4,ε3,ε4,

(σε1,σε2,ε3,ε4)=(ε1,ε2,ε3,ε4)(1000−120012102−201)(\sigma\varepsilon_1,\sigma\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&2&0&0\\1&2&1&0\\2&-2&0&1\end{pmatrix}(σε1,σε2,ε3,ε4)=(ε1,ε2,ε3,ε4)⎝⎜⎜⎛1−112022−200100001⎠⎟⎟⎞
=(ε1,ε2,ε3,ε4)D1.=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)D_1.=(ε1,ε2,ε3,ε4)D1.

因为det⁡D1≠0,\det D_1\neq 0,detD1̸=0, 所以，σε1,σε2,ε3,ε4\sigma\varepsilon_1,\sigma\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4σε1,σε2,ε3,ε4是VVV的一组基.

2.核空间的基与维数
设A\mathscr{A}A是nnn维线性空间VVV的线性变换，ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn是VVV的一组基，在这组基下A\mathscr{A}A的矩阵为AAA，设ξ∈KerA\xi \in Ker \mathscr{A}ξ∈KerA, 则Aξ=0\mathscr{A}\xi=0Aξ=0, 设ξ\xiξ在基ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn下的坐标为xxx, 那么，Ax=0Ax=0Ax=0.

这说明线性变换A\mathscr{A}A的核空间与矩阵AAA的零空间是同构的。于是，要求核空间的一组基和维数，可以转化为求齐次方程组Ax=0Ax=0Ax=0的基础解系及其所含向量的个数。由齐次方程组解的理论知，dim⁡KerA=n−r(A).\dim Ker \mathscr{A}=n-r(A).dimKerA=n−r(A).

下面举一个例子说明核空间的基和维数的求法：

例2. 设ε1,ε2,ε3,ε4\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4ε1,ε2,ε3,ε4是线性空间VVV的一组基，已知线性变换σ\sigmaσ在此基下的矩阵为
A=(1021−121312552−21−2).A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}.A=⎝⎜⎜⎛1−112022−22151135−2⎠⎟⎟⎞.
求KerσKer \sigmaKerσ的一组基与维数，并把它扩充为VVV的一组基.

解：设ξ∈kerσ\xi\in ker \sigmaξ∈kerσ, 它在基ε1,ε2,ε3,ε4\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4ε1,ε2,ε3,ε4下的坐标为(x1,x2,x3,x4)(x_1,x_2,x_3,x_4)(x1,x2,x3,x4), 解齐次方程组Ax=0Ax=0Ax=0,

A=(1021−121312552−21−2)→(102101−32200000000)A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&-\frac{3}{2}&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛1−112022−22151135−2⎠⎟⎟⎞→⎝⎜⎜⎛100001002−23001200⎠⎟⎟⎞
得到它的一个基础解系为：

(−2,32,1,0),(−1,−2,0,1).(-2,\frac{3}{2},1,0),(-1,-2,0,1).(−2,23,1,0),(−1,−2,0,1).

令η1=−2ε1+32ε2+ε3,η2=−ε1−2ε2+ε4,\eta_1=-2\varepsilon_1+\frac{3}{2}\varepsilon_2+\varepsilon_3, \eta_2=-\varepsilon_1-2\varepsilon_2+\varepsilon_4,η1=−2ε1+23ε2+ε3,η2=−ε1−2ε2+ε4,则η1,η2\eta_1,\eta_2η1,η2为KerσKer \sigmaKerσ的一组基，dim⁡Kerσ=2\dim Ker\sigma=2dimKerσ=2。

添加ε1,ε2,\varepsilon_1,\varepsilon_2,ε1,ε2, 由于

(ε1,ε2,η1,η2)=(ε1,ε2,ε3,ε4)(10−2−101−32−200100001)(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\eta_1,\eta_2)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\begin{pmatrix}1&0&-2&-1\\0&1&-\frac{3}{2}&-2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}(ε1,ε2,η1,η2)=(ε1,ε2,ε3,ε4)⎝⎜⎜⎛10000100−2−2310−1−201⎠⎟⎟⎞
=(ε1,ε2,ε3,ε4)D2,=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)D_2,=(ε1,ε2,ε3,ε4)D2,

因为det⁡D2≠0\det D_2\neq 0detD2̸=0, 所以ε1,ε2,η1,η2\varepsilon_1,\varepsilon_2,\eta_1,\eta_2ε1,ε2,η1,η2是VVV的一组基.

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