一、问题

疑问：在做微分方程的题时，发现自己总是分不清也记不住，何时用换元法做。主要的问题包括以下两个。

一是，缺y项的微分方程如何求解？换元时y''=dp/dx，还是y''=p·dp/dx？这属于高阶可降解方程的内容。

二是，一般微分方程的解都是y当作x的函数，而有时不可解得。那么什么时候将x看作y的函数呢？这属于反函数高阶导数的内容。

二、高阶可降阶微分方程

1. 概念理解

高阶：二阶及二阶以上的微分方程。

可降阶：与之对应的是不可降阶类型，在此列出三种可降阶类型。

2. 解法

① $y^{(n)}=f(x)$

y的n阶导 = x的函数类型。接连积分n次，便得到含有n个任意常数的通解。

② $y''=f(x,y')$

等式中不显含（缺少）y ，所以后续也不要引入y才更方便，设 y'=p，y''=dp/dx=p'。

③ $y''=f(y,y')$

等式不显含（缺少）x ，所以不引入新的x，设 y'=p，y''=dp/dx=dp/dy ·dy/dx=p·dp/dy。

具体步骤如下（摘自《高等数学》）。

3. 例题

T14是缺少y的类型，所以代入dp/dx，不引入新的变量。

T15是缺少x和y的类型，按道理是均可，不过此题若用dp/dx，可以积分得到一个含p的隐函数，下一步无法继续积分。此处用dy则可以做。

三、反函数高阶导数

1. 概念理解

反函数的导数和原函数导数的关系，与阶数有关。他们的一阶导互为相反数，但二阶甚至更高阶则不是且更复杂。高于二阶的反函数导数问题在做题中很少遇到，这部分属于数学分析的内容，可以参考相关书目。但是一阶、二阶要记住。

一阶： $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 二阶： $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=-\frac{y''}{y'^{3}}$

推导：

$\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=\frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})=\frac{d}{dx}(\frac{dx}{dy})\cdot \frac{dx}{dy}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{y'})\cdot \frac{1}{y'}=-\frac{y''}{y'^{2}}\cdot \frac{1}{y'}=-\frac{y''}{y'^{3}}$

2. 例题

因为出现了y'的三次方，所以想到反函数高阶导数，凑出。

注：这只是一种dx/dy的题型，还有一些，当dy/dx不好积分时，可考虑用dx/dy。

四、小结

1. 高阶可降阶微分方程解法：

① $y^{(n)}=f(x)$ ，接连积分n次，得含有n个任意常数的通解。

② $y''=f(x,y')$ ，缺少 y ，设 y'=p，y''=p'。

③ $y''=f(y,y')$ ，缺少 x ，设 y'=p，y''=p·dp/dy。

2. 反函数高阶导数，看到 y' 三次方想到。

一阶： $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 二阶： $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=-\frac{y''}{y'^{3}}$

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【高数】高阶可降阶微分方程的解法？什么时候考虑把dx/dy换元（反函数高阶导数）？

一、问题

二、高阶可降阶微分方程

三、反函数高阶导数

四、小结

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