视觉SLAM十四讲学习笔记2—

二、数学描述

1.首先，由于相机通常是在某些时刻采集数据的，所以我们也只关心这些时刻的位置和地图。

这就把一段连续时间的运动变成了离散时刻 t = 1, . . . , K 当中发生的事情。在这些时刻，用 x 表示自身的位置。于是各时刻的位置就记为 x1, . . . , xK，它们构成了相机的轨迹。地图方面，我们设地图是由许多个路标（Landmark）组成的，而每个时刻，传感器会测量到一部分路标点，得到它们的观测数据。不妨设路标点一共有 N 个，用 y1, . . . , yN 表示它们。

在平面中运动，那么，它的位姿由两个位置和一个转角来描述

同时，运动传感器能够测量到在每两个时间间隔位置和转角的变化量

那么，此时运动方程就可以具体化为

即xk = f (xk−1,uk, wk). 这里 uk 是运动传感器的读数（有时也叫输入），wk 为噪声。

与运动方程相对应，还有一个观测方程。在 xk 位置上看到某个路标点 yj，产生了一个观测数据 zk,j。

同样，我们用一个抽象的函数 h 来描述这个关系：

zk,j = h (yj , xk, vk,j ).

这里 vk,j 是这次观测里的噪声。由于观测所用的传感器形式更多，这里的观测数据 z 以及观测方程 h 也有许多不同的形式。

可总结为两个基本方程：

2.坐标变换

用外积（X乘）表示向量的旋转:用一个向量来描述三维空间中两个向量的旋转关系。

坐标欧式变换：参考坐标系齐次变换详解_哔哩哔哩_bilibili，讲的很清楚

齐次坐标与变换矩阵：升一维转变为线性。

如下图，对向量a增加了一行1，这样就可以用一个矩阵乘法同时表示坐标平移和旋转

注意，如果增加的一行为0，那么表示的是向量而不是坐标

另一种理解，类似SVM支持向量机

如图，在二维平面上的线性无关的点，进入三维空间，则在同一平面上，它们在高维空间的投影线性相关。

3.罗德里格斯公式

任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量，称为旋转向量（或轴角，AxisAngle）。这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的维数正好是六维。假设有一个旋转轴为 n，角度为θ的旋转，显然，它对应的旋转向量为θn。

据说推导很麻烦：（，本文就不写了

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