[CQOI2018]九连环

一、题目

点此看题

二、解法

根据题目中444连环的解释，你可以发现拆除444连环满足如下规律：

拆掉一个222连环，使得原环变成110011001100
拿掉最左边的111
加二连环使其变为011101110111
拆三连环

这就完成了一个问题的转化，由于拆和加环效果相同，我们定义dpidp_idpi为拆掉iii连环需要的步数，则有递推式：
dp[i]=2⋅dp[i−2]+dp[i−1]+1dp[i]=2\cdot dp[i-2]+dp[i-1]+1dp[i]=2⋅dp[i−2]+dp[i−1]+1可以把答案写成二进制的形式：1 10 101 1010 10101 ..................

可以发现相邻两个二进制数的和是1111..1111..1111..的形式，所以 dp[i]+dp[i+1]=2i+1dp[i]+dp[i+1]=2^{i+1}dp[i]+dp[i+1]=2i+1，结合dp[n]=2dp[n−1]+(n&1)?1:0dp[n]=2dp[n−1]+(n\&1)?1:0dp[n]=2dp[n−1]+(n&1)?1:0（打表规律），可以发现答案是2i+13\frac{2^{i+1}}{3}32i+1

这样问题就转化成了高精度，可以用FFT\text{FFT}FFT优化，下面写出一些注意事项：

清零最重要，每个地方每个数组及时清零
不要把数组开在函数里面，开在函数外面反复利用

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const double pi = acos(-1.0);
int read()
{int num=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();return num*flag;
}
int n,T;
struct complex
{double x,y;complex() {x=y=0;}complex(double X,double Y) : x(X) , y(Y) {}complex operator + (const complex &R) const {return complex(x+R.x,y+R.y);}complex operator - (const complex &R) const {return complex(x-R.x,y-R.y);}complex operator * (const complex &R) const {return complex(x*R.x-y*R.y,x*R.y+y*R.x);}
}A[MAXN],B[MAXN];
void FFT(int len,complex *a,int flg)
{if(len==1) return ;complex a1[len>>1],a2[len>>1];for(int i=0;i<len;i+=2) a1[i>>1]=a[i],a2[i>>1]=a[i+1];FFT(len>>1,a1,flg);FFT(len>>1,a2,flg);const complex w=complex(cos(pi*2.0/len),sin(pi*2.0/len)*flg);complex k=complex(1,0);len>>=1;for(int i=0;i<len;i++,k=k*w){a[i]=a1[i]+k*a2[i];a[i+len]=a1[i]-k*a2[i];}
}
struct bignum
{int n,a[MAXN];bignum() {memset(a,0,sizeof a);n=1;}bignum(int x){memset(a,0,sizeof a);n=0;if(!x) {n=1;return ;}while(x) a[n++]=x%10,x/=10;}void print(){for(int i=n-1;i>=0;i--)printf("%d",a[i]);puts("");}void operator /= (int x){int t=0,len=0;for(int i=n-1;i>=0;i--){t=t*10+a[i];a[i]=t/x;t%=x;if(!len && a[i]) len=i+1;}n=max(len,1);}void operator *= (bignum b){int len=1;while(len<=n+b.n) len<<=1;for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=complex(0,0);for(int i=0;i<n;i++) A[i]=complex(a[i],0);for(int i=0;i<b.n;i++) B[i]=complex(b.a[i],0);FFT(len,A,1);FFT(len,B,1);for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i];FFT(len,A,-1);for(int i=0;i<n+b.n;i++)a[i]=0;for(int i=0;i<n+b.n;i++){a[i]+=(int)(A[i].x/len+0.5);if(a[i]>=10)a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;}for(int i=n+b.n-1;i>=0;i--)if(a[i]){n=i+1;break;}}
}a,r;
int main()
{T=read();while(T--){n=read()+1;a=bignum(2),r=bignum(1);while(n>0){if(n&1) r*=a;a*=a;n>>=1;}r/=3;r.print();}
}

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