数论笔记 · 佩尔方程
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佩尔方程实际上并不是佩尔提出的,而是费尔马提出,却被欧拉误记为佩尔提出,因此佩尔方程的名称沿用至今。身为不定方程的特殊一类,佩尔方程与连分数,二次型,代数论等等有着重要的联系,因而是数论中最经典的篇章之一。令 d 为非平方数的正整数,那么佩尔方程(Pell Equation)为:
* 连分数 *
在对佩尔方程进行深入了解之前,先来看看与该方程不可分离的连分数:
由于篇幅的原因,通常记为
其中 pn 和 qn 称为连分数之多项式,对于任意的a 均为一次式,它们的比值称为第 n 个渐进值渐进分数。对于渐进值来讲,有着递归关系式:
由数学归纳法可以得到关系式:
在华罗庚的《数论导引》中介绍了连分数一些性质定理,例如:有理数必可表示为有限连分数,无理数的连分数表示法唯一等等。
* 佩尔方程 *
注意到在上述多项式的递归表示中,具有决定多项式数值作用的关键的 an 并没有计算公式。此时回来看佩尔方程,根据数论中的定理:
定理1:对于正整数p、q ,如果有
则比值 p/q 必为 a 的一个渐进值。
因此可以得出推论:对于佩尔方程,其全部的根的集合为:
由递归方程式
可以得到
而判断二次不定方程有解的充分必要条件有下述定理表述:
定理2:二次不定方程
常有解,二次方程
不可解的充要条件为:
根据上述定理,由数学归纳法可以得到关系式:
这样就可以根据 p、q、P、Q 的递归关系式计算出根式形式的无理数的连分数展开。
假设 p、q 为上述方程的解,考虑其对应的佩尔方程极其基础解系:
当 (p,q) 为包含所有基础解,这样所有的解集由下式递归构成
计算佩尔型方程的互不等价的基本解集主要依赖 PQA 算法和 Lagrange-Matthews-Mollin 算法。
这样就可以进行佩尔型方程基本解集的计算:按照 K^2 和 D 的关系有:
P0 = 0 ,Q0 = 1 作为初始值带入 PQA 算法,当 Kn = K 时得到所有基本解集。
For each m , find all z :-|m|/2 < z <= |m|/2,and z^2 = D modulo |m|
For each z , P0 = z ,Q0 = |m| as initial value in PQA algorithm:
If Qn+1 * sign(m) = 1 , then f*(Pn,Qn) is solution.
If Qn+1 * sign(m) = -1 , then f*(Pn,Qn) is solution of x^2 - Dy^2 = -K .
If x^2 - Dy^2 = -1 has primitive solution (u,v) , then f*(uPn+DvQn,vPn+uQn) is solution.
根据递归,该基本解集的每一个元素都可以产生无穷的解集,综合起来就是佩尔型方程的解集。
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