引言

进制表示和转换是嵌入式开发人员的基本功。在开发，调试过程中，大量阅读芯片手册，查看MCU寄存器，内存等都会涉及到十六进制，二进制等的快速切换，以理解各个bit位含义和内容。另外C代码中也经常用到位操作。

本文面向的读者是希望通过学习能够掌握二进制和十六进制表示，并熟练二进制，十六进制间转换。

建议学习顺序，理解十进制数值如何分解，然后花足够时间理解引例部分和 106 的两种表示的例子。概念

然后就是多练习二进制，十六进制，十进制转换。技能

需要熟练三种进制数值对照表。掌握PC自带计算器（程序员模式）进制切换。工具

1. 十进制（逢十进一）数值分解

基础数学表示

...

$10^{3}=10\times 10\times 10$

$10^{2}=10\times 10$

$10^{0}=1$

$10^{-1}=0.1$

...

举例 1984，数字 1 在千位（ $10^{3}$ ），数字 9 在百位（ $10^{2}$ ），数字 8 在十位（ $10^{1}$ ），数字 4 在个位（ $10^{0}$ ），分解它为

1个1000，9个100，8个10和4个1，即：

$1984=1\times 10^{3}+9\times 10^{2}+8\times 10^{1}+4\times 10^{0}$

.由此看出

数值 = 所有数字和对应位乘积的和。

另外十进制

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

每个位是以10为底的基 {..., $10^{-1}$ ， $10^{0}$ ， $10^{1}$ ， $10^{2}$ ,...}

练习1 273.15怎么表示成（数字x位）的组合？

2. 引例

开始二进制之前，我希望通过一个例子让读者区分开数值和表示形式两个概念。

比如我们说温度，“今天20（摄氏）度”，这里的 20 就是数值，（摄氏）度就是摄氏温标下表示形式

如果你知道除了摄氏温度还有华氏温度，并且二者可以转换参见百度百科华氏与摄氏

华氏度 = 32°F+ 摄氏度 × 1.8

同样你可以说，“今天68华氏度”，其实说的是同样的内容。

从这个例子，我们看出同样一个内容，我们其实可以表示成不同数值+表示形式。

思考，生活还有哪些例子，同样内容不同说法？比如，身高，体重，时间。

3.1 二进制（逢二进一）

应用上面的概念，一百零六可以表示

$106=1\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}$

同样也可以表示

$106=64+32+8+2$

如果仔细看

$64=2^{6}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$

$32=2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2$

$8=2^{3}=2\times 2\times 2$

所以

$106=0\times 2^{7} + 1\times 2^{6} + 1\times 2^{5} + 0\times 2^{4} + 1\times 2^{3} + 0\times 2^{2} + 1\times 2^{1} + 0\times 2^{0}$

我们发现乘号前面只有 {0, 1}，如果我们像表示十进制数一样，只提取每位前面的数字

就得到（习惯表示二进制时，在右下角添加数字2以区别十进制数）

$01101010{\color{Red} _{2}}$

这就是二进制

每位上的数字只可能是 {0, 1}

每个位是以2为底的基 {..., $2^{-1}$ ， $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ,...}

对比十进制，区别在于

位上的数字，二进制只有0和1，没有2,3，。。。，9，

位不再是。。。千，百，十，个，十分，。。。而是，。。。，bit2，bit1，bit0等，发音比特二，比特一，比特零

注意：比特+负数在浮点数计算会用到

再看一遍这个例子 $01101010{\color{Red} _{2}}$

bit7 bit6 bit5 bit4 bit3 bit2 bit1 bit0

0 1 1 0 1 0 1 0

$0\times 2^{7} + 1\times 2^{6} + 1\times 2^{5} + 0\times 2^{4} + 1\times 2^{3} + 0\times 2^{2} + 1\times 2^{1} + 0\times 2^{0}=106$

练习2 二进制 $10101001_{{\color{Red} 2}}$ 换做10进制表示?

$10101001_{{\color{Red} 2}}$ 提示填写下面8个？处，分别是0还是1？然后按上面公式计算结果

bit7 bit6 bit5 bit4 bit3 bit2 bit1 bit0

？ ? ? ? ? ? ? ?

打开计算器的程序员模式，手动切换二进制，输入10101001，然后切换回十进制并对照你的计算结果。

理解二进制之后，你是不是也能看懂下面的笑话了。

建议理解二进制和十进制间的区别和联系以及数值和表示等概念，再继续后面学习。

3.2 十六进制（逢十六进一）

恭喜你已经理解二进制。下面来看十六进制，就非常容易了。

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

每个位是以16为底的基 {..., $16^{-1}$ ， $16^{0}$ ， $16^{1}$ ， $16^{2}$ ,...}

十六进制表示以 0x or 0X 开始（这里是数字零不是字母O），例如 0x12AD

$0_{X}12AD = 1\times 16^{3} + 2\times 16^{2} + 10\times 16^{1} + 13\times 16^{0}$ $= 4096+512+160+13 = 4781$

下面这个对照表需要记忆，十六进制1个数字 <------> 4个二进制数字

十六进制	十进制	二进制
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A or a	10	1010
B or b	11	1011
C or c	12	1100
D or d	13	1101
E or e	14	1110
F or f	15	1111

举例十六进制 0x1E9B 转换成二进制

1 E 9 B

0001 1110 1001 1011

练习3 把下图中十六进制 0x078E 3AD1 转换成二进制？引用TM4C123GH6PM data sheet

总结

本文从大家熟悉的十进制数值表示入手，并借助温度两种不同表示（华氏和摄氏）的例子，过渡到二进制和十六进制表示。

同时，列举实际工作中用到的场景和例子。

答案1 $273.15=2\times 10^{2}+7\times 10^{1}+3\times 10^{0}+1\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}$

答案2

$10101001{\color{Red} _{2}}=1\times 2^{7} + 0\times 2^{6} + 1\times 2^{5} + 0\times 2^{4} + 1\times 2^{3} + 0\times 2^{2} + 0\times 2^{1} + 1\times 2^{0}$ $=128+32+8+1=169$

答案3

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嵌入式系统基础概念（一）二进制和十六进制

引言

1. 十进制（逢十进一）数值分解

数值 = 所有数字和对应位乘积的和。

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

每个位是以10为底的基 {..., $10^{-1}$ ， $10^{0}$ ， $10^{1}$ ， $10^{2}$ ,...}

2. 引例

3.1 二进制（逢二进一）

每位上的数字只可能是 {0, 1}

每个位是以2为底的基 {..., $2^{-1}$ ， $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ,...}

3.2 十六进制（逢十六进一）

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

每个位是以16为底的基 {..., $16^{-1}$ ， $16^{0}$ ， $16^{1}$ ， $16^{2}$ ,...}

总结

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1. 十进制（逢十进一）数值分解

数值 = 所有数字和对应位乘积的和。

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

每个位是以10为底的基 {..., ，，，,...}

2. 引例

3.1 二进制（逢二进一）

每位上的数字只可能是 {0, 1}

每个位是以2为底的基 {..., ，，，,...}

3.2 十六进制（逢十六进一）

每位上的数字只可能是 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

每个位是以16为底的基 {..., ，，，,...}

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