算法设计学习---递归

cuicuiv小白学算法—递归

递归：是指在函数的定义中又调用函数自身的方法。

使用递归求解的问题需要满足一下三个条件：

需要解决的问题可以转化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的求解方法与原问题完全相同，只是在数量规模上不同。

递归调用的次数必须是有限的。

必须有结束递归的条件来终止递归

提取递归模型的步骤

对原问题f(s_n)进行分析，抽象出合理的“小问题”f(s_n-1)

假设f(s_n-1)是可解的，在此基础上确定f(s_n)的解，即给出f(s_n)和f(s_n-1)之间的关系

确定一个特定情况(如f(1)和f(0))的解，由此作为递归的出口

基于递归数据结构的递归算法设计

例—二叉树的递归算法设计

假设二叉树采用二叉链存储结构，设计一个递归算法释放二叉树bt中的所有结点。

设f(bt)的功能是释放二叉树bt的所有结点，则f(bt->lchild)的功能是释放二叉树bt的左子树的所有结点，f(bt->rchild)的功能是释放二叉树bt的右子树的所有结点。即f(bt)是“大问题”，f(bt->lchild)和f(bt->rchild)是两个“小问题”
对应的递归模型如下：
f(bt)=不做任何事情 ********************************** 当bt=NULL时
f(bt)=f(bt->lchild);f(bt->rchild);释放bt所指的结点 ***其他情况
*
对应的递归算法：
void DestroyBtree(BTNode *&bt)
{ if(bt!=NULL)
{
DestroyBtree(bt->lchild);
DestroyBtree(bt->rchild);
ftee(bt);
}
}

基于归纳思想的递归算法设计

从本质上来讲，给出一个带有参数n的问题，采用基于归纳思想设计递归算法是基于这样一个事实。
如果知道求解带有参数k(<n)的同样问题，那么整个任务就转化成如何把解法扩展到带有参数k的情况。实际上就是以f(n)为“大问题”，以f(n-1)或者f(n/2)等为“小问题”，归纳出大小问题之间的递推关系。

基于归纳思想的递归算法设计通常不像基于递归数据结构的递归算法设计那样直观，需要通过对求解问题的深入分析提炼出求解过程中的相似性而不是数据结构的相似性，这就增加了算法设计的难度。

简单选择排序和冒泡排序
【问题描述】对于给定的含有n个元素的数组a，分别采用简单选择排序和冒泡排序方法按元素值递增排序

简单选择排序和冒泡排序方法都是按a[0···n-1]分为有序区a[0····i-1]和无序区两个部分，有序区中的所有元素都不大于无序区中的元素，初始时有序区为空(即i=0)。经过n-1趟排序(i=1~n-2)，每趟排序采用不同方式将无序区中的最小元素移动到无序区的开头。

1.简单选择排序

简单选择排序采用简单比较方式在无序区中选择最小元素并放到开头处。
设f(a,n,i)用于在无序区a[i···n-1]（共n-i个元素）中选择最小元素并放到a[i]处，是“大问题”，则f(a,n,i+1)用于在无序区a[i+1····n-1]中选择最小元素放到a[i+1]处，是“小问题”。当i=n-1时所有元素有序，算法结束。

对应递归模型：
f(a,n,i) 不做任何事情，算法结束****************************当i=n-1时
f(a,n,i) 通过简单选择比较挑选a[i···n-1]中最小的元素；***否则
a[k]放到a[i]出；f(a,n,i+1);

代码如下：

#include<stdio.h>
void swap(int &x,int &y) //交换x和y的值
{int tmp=x;x=y;y=tmp;
}void disp(int a[],int n) //输出a中的所有元素
{for(int i=0;i<n;i++)printf("%d",a[i]);printf("\n");
}void SelectSort(int a[],int n,int i) //递归的简单选择
{int j,k;if(i==n-1) return; //满足递归出口else
{k=i;//k记录a [i ```n-1]中最小元素的下标for(j=i+1;j<n;j++)//在a[i```n-1]中找最小元素a[k]{if(a[j]<a[k])k=j;if(k!=i)//若最小元素不是a[i]swap(a[i],a[k]);//a[i]和a[k]交换SelectSort(a,n,i+1);}
}
}
void main()
{int n=10;int a[]={2,5,1,7,10,6,9,4,3,8};printf("排序前：");disp(a,n);SelectSort(a,n,0);printf("排序后：");disp(a,n);
}

简单选择排序通过两两对比一一得出最小元素，通过递归实现全部排列，最后通过递归出口结束。

2.冒泡排序

冒泡排序采用交换方式将无序区中的最小元素放到开头处。

设f(a,n,i)用于将无序区 a[i···n-1] 中的最小元素交换到a[i]处，是”大问题“，则f(a,n,i+1)用于将无序区a[i+1···n-1]中的最小元素交换到a[i+1]处，是”小问题“。当i=n-1时所有元素有序，算法结束。

对应递归模型：
f(a,n,i) 不做任何事情，算法结束************************当i=n-1时
f(a,n,i) 对a[i ···n-1]中的元素序列从a[n-1]开始进行相邻比较***否则
若相邻两元素反序则将两者交换；
若没有交换则返回，否则执行f(a,n,i+1)

代码如下：

#include<stdio.h>
void swap(int &x,int &y) //交换x和y的值
{int tmp=x;x=y;y=tmp;
}void disp(int a[],int n) //输出a中的所有元素
{for(int i=0;i<n;i++)printf("%d",a[i]);printf("\n");
}void BubbleSort(int a[],int n,int i) //递归的冒泡排序
{int j;bool exchange;if(i==n-1) return; //满足递归出口条件else{exchange=false;for(j=n-1;j>i;j--)if(a[j]<a[j-1]) // 当相邻元素方序时{swap(a[j],a[j-1]);exchange=true;} if(exchange==false) //未发生交换时直接返回return;elseBubbleSort(a,n,i+1);}
}
void main()
{int n=10;int a[]={2,5,1,7,10,6,9,4,3,8};printf("排序前：");disp(a,n);SelectSort(a,n,0);printf("排序后：");disp(a,n);
}

总结：

1. 面对问题求解选择方法时，先判断题目对象的条件，以其数据结构以及数学模型为参考。
2. 用递归求解题目主要分为两大类：
（1）基于递归数据结构的递归算法设计（2）基于归纳思想的递归算法设计
3.使用递归时，对“大问题”和“小问题”的判断以及划分以及递归出口条件极为重要。