综述

一类随机过程-----鞅
主介绍离散时间鞅
鞅的定义从条件期望出发

举例子（1）

gambler对能使他在一系列赌博后获得期望收益最大的策略感兴趣。
数学上可证：”公平“博弈中，无这样策略。
设一个赌徒在进行赌博，每次输赢的概率都是 1 2 \frac{1}{2} 21，

令 { Y n , n = 1 , 2 , . . . } 是一列独同，表每次结果 \{Y_n,n=1,2,...\}是一列独同，表每次结果 {Yn,n=1,2,...}是一列独同，表每次结果
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
采用的策略（所下堵住）依赖于前面的赌博结果，那么有：
b n = b n ( Y 1 , . . . , Y n − 1 ) , n = 2 , 3 , . . . b_n=b_n(Y_1,...,Y_{n-1}),n=2,3,... bn=bn(Y1,...,Yn−1),n=2,3,...
b n < ∞ ，若赢获得 b n ，否则输掉 b n . b_n<\infty，若赢获得b_n，否则输掉b_n. bn<∞，若赢获得bn，否则输掉bn.
X 0 是初资，则 X n = X 0 + ∑ i = 1 n b i Y i 是 n 次后赌资 X_0是初资，则X_n=X_0+\sum_{i=1}^{n}{b_iY_i是n次后赌资} X0是初资，则Xn=X0+∑i=1nbiYi是n次后赌资

可断言 E [ X n + 1 ∣ Y 1 , . . . , Y n ] = X n 可断言E[X_{n+1}|Y_1,...,Y_n]=X_n 可断言E[Xn+1∣Y1,...,Yn]=Xn

这是因为 X n + 1 = X n + b n + 1 Y n + 1 这是因为X_{n+1}=X_n+b_{n+1}Y_{n+1} 这是因为Xn+1=Xn+bn+1Yn+1

因此， E [ X n + 1 ∣ Y 1 , . . . , Y n ] = 因此，E[X_{n+1}|Y_1,...,Y_n]= 因此，E[Xn+1∣Y1,...,Yn]=
E [ X n ∣ Y 1 , . . . , Y n ] + E [ b n + 1 Y n + 1 ∣ Y 1 , . . . , Y n ] = E[X_{n}|Y_1,...,Y_n]+E[b_{n+1}Y_{n+1}|Y_1,...,Y_n]= E[Xn∣Y1,...,Yn]+E[bn+1Yn+1∣Y1,...,Yn]=
X n + b n + 1 E [ Y n + 1 ] X_n+b_{n+1}E[Y_{n+1}] Xn+bn+1E[Yn+1]
= X n =X_n =Xn
若每次输赢机会均等，且策略依赖于前面的赌博结果，则赌博是公平的。
++++++++++++++++++++++++++

鞅的直观本质意义

描述的是“公平的”赌博
下鞅是"有利"的赌博

定义关于 σ \sigma σ代数的鞅

域流Filtration

给定样本空间 Ω \Omega Ω和时间指标集 T T T
- 若 ∃ \exists ∃一族 σ \sigma σ代数 { F t : t ∈ T } \{\mathcal{F}_t:t\in T\} {Ft:t∈T}
- 使得 ∀ 0 ≤ s < t \forall 0\le s<t ∀0≤s<t，都有 F s ⊂ F t \mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t Fs⊂Ft
- 就说 { F t : t ∈ T } \{\mathcal{F}_t:t\in T\} {Ft:t∈T}为 Ω \Omega Ω上的一个域流

带域流的概率空间

对于概率空间 ( Ω , F , P ) (\Omega,\mathcal{F},P) (Ω,F,P)，和 Ω \Omega Ω上的一个域流 { F t : } t ∈ T \{\mathcal{F}_t:\}_{t\in T} {Ft:}t∈T
就说四元组 ( ( Ω , F , { F t : } t ∈ T , P ) ) ((\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_t:\}_{t\in T},P)) ((Ω,F,{Ft:}t∈T,P))
- 是个 带域流的概率空间
- 或过滤的概率空间

总结

域流的概念可动态地刻画随机过程的可测性和信息递增
- 为后面的条件期望的定义做好准备

适应过程

给定一个带域流的概率空间
( Ω , F , { F t } t ∈ T , P ) (\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_t\}_{t\in T},P) (Ω,F,{Ft}t∈T,P)
如果一个随机过程 { X t } t ∈ T \{X_t\}_{t\in T} {Xt}t∈T
满足对任意的 t ∈ T t \in T t∈T都有
X t ∈ F t X_t\in \mathcal{F}_t Xt∈Ft
亦即 X t X_t Xt是 F t \mathcal{F}_t Ft可测的
或记为 σ ( X t ) ⊂ F t \sigma(X_t)\subset \mathcal{F}_t σ(Xt)⊂Ft
则称 { X t } \{X_t\} {Xt}为关于域流 { F t } t ∈ T \{\mathcal{F}_t\}_{t\in T} {Ft}t∈T适应的过程
适应过程在每一时间处都可以由当前已知信息来描述(而不是给定)。
本课程中的金融随机过程(资产价格、投资组合头寸等)都是适应的。

可料过程

给一个带域流的概率空间 ( Ω , F , { F n } n = 0 , 1 , . . . , N , P ) (\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_n\}_{n=0,1,...,N},P) (Ω,F,{Fn}n=0,1,...,N,P)
如果一个随机过程 { X n } n = 0 , 1 , . . . , N \{X_n\}_{n=0,1,...,N} {Xn}n=0,1,...,N满足
- ∀ n \forall n ∀n
- 有 X n ∈ F n − 1 X_n\in \mathcal{F}_{n-1} Xn∈Fn−1
- 即 X n X_n Xn是 F n − 1 \mathcal{F}_{n-1} Fn−1可测的
称 { X n } \{X_n\} {Xn}为关于域流 { F n } n = 0 , 1 , . . . , N \{\mathcal{F}_n\}_{n=0,1,...,N} {Fn}n=0,1,...,N可料过程
可料过程在每一时间处都可以由前一期信息来描述(而不是给定)。
在离散时间框架下,我们讨论的策略都是可料的

回忆条件数学期望的性质

X X X为随机变量, G \mathcal{G} G为 σ \sigma σ代数。
- E [ E [ X ∣ G ] ] = E [ X ] E[E[X|\mathcal{G}]]=E[X] E[E[X∣G]]=E[X]
- 若 X X X是 G \mathcal{G} G可测,则 E [ X ∣ G ] = X , a . s . . E[X|\mathcal{G}]=X,a.s.. E[X∣G]=X,a.s..
设 G = { 0 , Ω } \mathcal{G}=\{0,\Omega\} G={0,Ω},
- 则 E [ X ∣ G ] = E [ X ] E[X|\mathcal{G}]=E[X] E[X∣G]=E[X]
∣ E [ X ∣ G ] ∣ ≤ E [ ∣ X ∣ G ∣ ] |E[X|\mathcal{G}]|\le E[|X|\mathcal{G}|] ∣E[X∣G]∣≤E[∣X∣G∣]
X X X、 X Y XY XY期望存在, Y Y Y为 G \mathcal{G} G可测
- E [ X Y ∣ G ] = Y E [ X ∣ G ] E[XY|\mathcal{G}]=YE[X|\mathcal{G}] E[XY∣G]=YE[X∣G]
若 X X X与 G \mathcal{G} G相互独立(即 σ ( X ) \sigma(X) σ(X)与 G \mathcal{G} G相互独立)
- 则有 E [ X ∣ G ] = E [ X ] E[X|\mathcal{G}]=E[X] E[X∣G]=E[X]
若 G 1 , G 2 \mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2 G1,G2是两个子 σ \sigma σ代数,
- 使得 G 1 ⊂ G 2 ⊂ F \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2\subset\mathcal{F} G1⊂G2⊂F,则
- E [ E [ X ∣ G 2 ] ∣ G 1 ] = E [ X ∣ G 1 ] E[E[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]=E[X|\mathcal{G}_1] E[E[X∣G2]∣G1]=E[X∣G1]

定义6.1.2

{ F n , n ≥ 0 } \{\mathcal{F}_n,n\ge 0\} {Fn,n≥0}是个 F \mathcal{F} F中的单调递增的子 σ \sigma σ代数列
随机过程 { X n , n ≥ 0 } \{X_n,n\ge 0\} {Xn,n≥0}称为关于 { F n , n ≥ 0 } \{\mathcal{F}_n,n\ge 0\} {Fn,n≥0}的鞅
如果
- { X n } \{X_n\} {Xn}是 { F n } \{\mathcal{F}_n\} {Fn}适应的
- E [ ∣ X n ∣ ] < ∞ E[|X_n|]<\infty E[∣Xn∣]<∞
- 且 ∀ n ≥ 0 \forall n\ge 0 ∀n≥0
- 有 E [ X n + 1 ∣ F n ] = X n (6.1.2) E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=X_n\tag{6.1.2} E[Xn+1∣Fn]=Xn(6.1.2)

鞅： Martingale相关推荐

UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步5 鞅的定义
UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步5 鞅的定义从这一讲开始,我们正式引入鞅(martingale).称(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅,如果 ...
一整只烧鹅价格=烧鹅上庄价格+烧鹅下庄价格这个关系不因货币变掉而变
趁看GH在Risk.net发表的有关quanto skew文章的契机写这篇文章介绍衍生品定价的基本理论. 我们从大家都会的一则公式开始: S0=∑ST⋅DT⋅P{S_0} = \sum {S_T\cd ...
金融经济学研究什么？
文章目录什么是金融资产和资产的回报率资产定价金融摩擦与金融契约理论有效市场之争与行为金融什么是金融金融就是资金融通,由维基百科所定义的,金融是处理资产和负债在时间和确定及不确定状态下 ...
R语言中通过鞅残差（martingale residual）分析、可视化自变量与鞅残差的关系判断指定连续变量和风险比HR值是否存在着线性趋势、Cox回归对线性条件的诊断
R语言中通过鞅残差(martingale residual)分析.可视化自变量与鞅残差的关系判断指定连续变量和风险比HR值是否存在着线性趋势.Cox回归对线性条件的诊断目录
UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步6 鞅的性质鞅差序列
UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步6 鞅的性质鞅差序列上一讲我们引入了鞅的定义,称(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅,如果 ∀n\forall ...
【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第6章-鞅过程及其性质
第5章回到目录无第6章-鞅过程及其性质-<随机过程>方兆本 6.1 条件期望及其性质定义6.1 条件期望 6.2 鞅过程定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列 6.3 鞅和鞅差的性质 ...
martingale与Markov Process的关系
鞅过程与马尔科夫过程是什么关系? 1.鞅代表的是公平游戏,马尔可夫过程侧重过程无记忆性总而言之:鞅和马尔可夫过程没有包含的关系.因为鞅代表的是公平游戏,而马尔可夫过程侧重过程无记忆性.两者没有内在联 ...
martingale、markov chain、Monte Carlo、MCMC
文章结构如下: 1: MCMC 1.1 MCMC是什么 1.2 为什么需要MCMC 2: 蒙特卡罗 2.1 引入 2.2 均匀分布,Box-Muller 变换 2.3 拒绝接受采样(Acceptanc ...
双均线系统的正反等价鞅资金管理策略
(1)等价鞅与反等价鞅鞅(martingale,或译为马丁格尔),原指于18世纪流行于法国的输钱加码法.假设可以无限赊账,那么赌徒在每次输钱后,就将赌注翻倍,那么他任何一个连输后赢的过程都是相等的- ...

鞅： Martingale

文章目录

综述