动态规划之套汇问题（思考分析、解决、算法模板）

一、问题描述

套汇是指利用货币汇兑率的差异将一个单位的某种货币转换为大于一个单位的同种货币。例如，假定1 美元可以买0.7 英镑，1 英镑可以买9.5 法郎，且1 法郎可以买到0.16美元。通过货币兑换，一个商人可以从1 美元开始买入，得到0.7×9.5×0.16=1.064美元，从而获得6.4%的利润。给定n 种货币c1 ,c2 ,... ,cn的有关兑换率，试设计一个有效算法，用以确定是否存在套汇的可能性。

输入

含多个测试数据项。每个测试数据项的第一行中只有1 个整数n (1< =n< =30)，表示货币总数。其后n行给出n种货币的名称。接下来的一行中有1 个整数m，表示有m种不同的货币兑换率。其后m行给出m种不同的货币兑换率，每行有3 个数据项ci ， rij 和cj ，表示货币ci 和cj的兑换率为 rij。文件最后以数字0 结束。

输出

对每个测试数据项j，如果存在套汇的可能性则输出“Case j Yes”，否则输出“Case j No”。

二、问题分析

(1)局部问题解决不了，因为当你一直选取汇率大的或者汇率小的转都不一定能转成最优。因此，这是涉及枚举所有情况的问题。即每次选择会和之前选择的情况相关，因此不能以一种固定的策略进行。

(2)考虑通项，从目标值而言，很明显是第i种货币转换成第j种货币的最优情况。

考虑转换方程，dp[i][j] = max(dp[i][k]*dp[k][j] , dp[i][j]);

即，flord模型，一直往路径i-j塞入点，使得i-j路径长度大于1，即可实现套汇。为什么会有这种想法？因为对于i-j 你可能经过i- i1 - i2 -j也可能i-i1-j对于通项不可能定义是dp[i][i1]...[j]将所有可能的中间点都放在通项中。

三、问题解决

bool Floyd(int n)
{for(int k=0;k<n;k++){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(path[i][j]<path[i][k]*path[k][j])   //关键点path[i][j]=path[i][k]*path[k][j];}}}for(int i=0;i<n;i++){if(path[i][i]>1)return true;}return false;
}

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