科技展望 2015/24

线性代数课程设计

——线性代数在密码学中的应用

郑　欣

(沈阳理工大学，辽宁　沈阳　110168)

【摘 要】线性代数是工科本科教育的基础学科，在教学过程中，经常注重理论学习而忽略了与实际应用相结合，导致学生学习兴趣不大，难以理解。本文主要做了线性代数课程设计，在学习之余引入数学实验，辅助加深学生对知识的理解，并提高学生的兴趣。【关键词】线性代数　矩阵　线性方程组　密码学

123 19 6781

B=SA= 112 315 = 4452

012 2014 4343

再次加密后密文：674443815243解密A S 1B。

线性代数是工科本科教育的基础学科，是三门最主要的工

程数学课程之一，是后继专业课程的基础，是培养科技创新解决实际问题的有力工具。如何让学生提高兴趣，扎实学好基础理论，并且将理论应用到实践中去，是我们线性代数教师探索的方向和目标，以下我们主要列举了几个例子，是线性代数在密码学中的应用，在学习过程中做为实验课程有助于学生了解线性代数的用处。

随着信息化程度的加快，信息安全问题备受重视，密码学也随之迅速发展起来并成为重要学科，密码学的发展与数学的发展紧密相连，密码学领域实际已被当做应用数学和计算机科学的一个分支。

本文主要做了线性代数课程设计，在学习之余引入数学实验，把密码学的简单例子添加的教学中，辅助加深学生对知识的理解，并提高学生的兴趣。

01-1 6781 19

A=S-1B= 2-2-1 4452 = 315

-111 4343 2014

收到密文后，对方利用密钥两次解密即可得到信息action。

2线性方程组的学习

线性方程组是线性代数的主要研究内容，现实生活中的很

多问题最终都可以化成代数问题，而代数问题很多最终都归为解线性方程组的问题。线性方程组在很多学科和工程技术中都有重要应用，包括密码学，经济学，信息论，运筹学等等。

例2、线性方程组在(k,n)门限方案中的应用。

将密钥D分拆成n个子密钥，分别交给n个人秘密保管，使得这n个人中任，任意k人协作都可恢复出密钥D,而任意k-1个人协作都无法恢复出密钥D

设D是(密钥)秘密数据。构做(或自动生成)一个多项式

1矩阵的学习

矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是线性代数研究的主要对象，贯穿于整个线性代数学习中，以它为工具可以解决实际中很多问题。比如下面例1，利用了逆矩阵，矩阵乘法等知识点，在教学过程中引入下面例题既可以加深练习知识点，又可以理论联系实际，体会数学在实际生活中的用处。

例1在英文中有一种对消息保密措施，就是把消息中英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数，比如那个1,2,3，……，25,26这26个数字分别对应A、B、C……,Y,Z，空格用0代替。.如果要发送信息action,此信息的编码是1,3,20,9,15,14.用这种方法，在一个长消息中根据数字出现的频率，容易估计它所代表的字母，因而容易破译。因此利用矩阵的乘法对这个编码进一步加密。

明文：a b c…………x y z 空格密文：1 2 3…………24 25 26 0明文：a c t i o n

密文：1 3 20 915 14

密钥：

f(x) ak-1xk-1 ak-2xk-2 a1x a0, a0 D

任意取定n个不同的数b1,b2, ,bn

任意k个人协作，得方程组:

ak-1b1k-1+ak-2b1k-2+ k-1k-2 ak-1b2+ak-2b2+

…

k-1k-2 ak-1bk+ak-2bk+

+a1b1+a0= f(b1)

+a1b2+a0= f(b2)+a1bk+a0= f(bk)

123 S= 112 012

解此线性方程组，得D。

在课堂教学中，要通过创设现实背景，利用多媒体辅助教学，加入数学实验等环节，设计形式多样的探究活动，多样式的教学方法相融合让学生在探究的过程中，通过提出问题解决问题的过程，理解体会数学概念的背景意义，达到理论与实践相结合。以上列举简单例子都可以采用MATLAB作为平台，完成各种运算。

密文B=SA，

19 01-1

S-1= 2-2-1 A= 315

2014 ， -111 ，

参考文献：

[1]侯亚君,艾玲.线性代数[M].北京：机械工业出版社，2012.[2]郑宝东.线性代数应用案例解析[J].

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