伽马发布、泊松分布以及指数分布的关系

2024-06-27 15:42:48

一、意义

· 指数分布(Exponential distribution)解决的问题是：要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。

· 伽马分布(Gamma distribution)解决的问题是：要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间。

· 泊松分布(Poisson distribution)解决的问题是：在特定时间内发生n个事件的概率。

所以，伽马分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总。

即n个Exponential(λ)~Gamma(n,λ)

二、公式

1、泊松分布

等号的左边，P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量。例如，1小时内出生3个婴儿的概率为P(N(1)=3)。等号的右边，λ表示事件的频率。

更一般的，我们写成：

· 期望和方差：

· 我们接着来看：

在接下来的两个小时内，一个婴儿都不出生的概率为：

概率约为0.25%，基本不可能。

接下来一个小时，至少出生2个婴儿的概率为：

得到概率约为80%。

· 泊松分布的图形：

2、指数分布

指数分布的公式可以从泊松分布推导出来。

如果下一个婴儿要间隔时间t才出生，那么也就是说时间t内没有婴儿出生；

那么，事件在时间t内发生的概率就是1减去上面得到的值，就得到了指数分布：

· 期望和方差：

例如，在接下来15分钟内会有婴儿出生的概率为：

· 指数分布的图形：

从图中可以看出，随着时间的增加，时间的发生概率呈指数型下降。我们可以这样理解，假如平均每小时出生3个婴儿，从上面的计算中可知，间隔两个小时出生一个婴儿的概率只有0.25%，那么间隔3个小时、5个小时的概率，将更加接近于0。

3、伽马分布

· 公式：

记作：X~Gamma(α,β)

其中，当α=1，β=1/λ时，伽马分布就是指数分布，所以伽马分布就是n个指数分布的和。

· 期望和方差：

· 伽马分布的图形：

其中，α称为形状参数(shape parameter)，β称为尺度参数(scale parameter)。

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