P2231 [HNOI2002]跳蚤

文章目录

R e s u l t Result Result
H y p e r l i n k Hyperlink Hyperlink
D e s c r i p t i o n Description Description
S o l u t i o n Solution Solution
C o d e Code Code

R e s u l t Result Result

H y p e r l i n k Hyperlink Hyperlink

https://www.luogu.com.cn/problem/P2231

D e s c r i p t i o n Description Description

试着构造一个长度为 n n n的序列，使得它们的最大值不大于 m m m，并且它们的 g c d gcd gcd和 m m m的 g c d gcd gcd为1，问方案数

数据范围： n , m ≤ 1 0 8 , m n ≤ 1 0 16 n,m\leq 10^8,m^n\leq 10^{16} n,m≤108,mn≤1016

S o l u t i o n Solution Solution

直接统计貌似很难算，考虑用总得方案减去不合法的（即 g c d gcd gcd不为1的）

显然 g c d gcd gcd不为1当且仅当该序列的 g c d gcd gcd是 m m m的约数之一，我们设这个约数为 d d d
显然， m m m范围内满足约数为 d d d的数有 m d \frac m d dm个，从中任意挑选出 n n n个，它们的 g c d gcd gcd就是 d d d（或者 d d d的倍数），这样的方案数为 ( m d ) n (\frac m d)^n (dm)n。
根据上述括号中的内容，这样子算有可能 g c d gcd gcd不为 d d d而是 d d d的倍数（换句话说就是多算了），考虑容斥掉重复计算的，显然容斥系数就是 μ ( d ) \mu(d) μ(d)

所以得到总的式子 A n s = ∑ d ∣ m μ ( d ) × ( m d ) n Ans=\sum _{d|m} \mu(d)\times (\frac m d)^n Ans=∑d∣mμ(d)×(dm)n

如果直接暴力枚举 m m m的约数，再 m \sqrt m m 算 d d d的话，时间复杂度是 O ( m ) O(m) O(m)的，虽然跑不满，但是我们考虑优化它

两种做法，代码中采用的是后者

由于 m m m的质因子不超过8个（因为最小的8个质数的乘积大于 1 0 8 10^8 108），这样我们就可以 O ( 2 8 ) O(2^8) O(28)枚举 m m m的约数了，总得时间复杂度 O ( 2 8 m log ⁡ n ) O(2^8\sqrt m\log n) O(28m logn)
考虑化一下式子，首先根据唯一分解定理对 m m m进行质因数分解，得到 m = ∏ p i c i m=\prod p_i^{c_i} m=∏pici，原式就可以化为 m n − ∑ 1 p i n + ∑ 1 p i n p j n − … … + … … m^n-\sum \frac 1{p_i^n}+\sum \frac 1{p_i^np_j^n}-……+…… mn−∑pin1+∑pinpjn1−……+……，有木有发现这玩意儿和 φ \varphi φ的容斥求法非常地相像？所以我们把后面那若干个 ∑ \sum ∑化为一个 ∏ \prod ∏，即 A n s = m n ∏ ( 1 − 1 p i n ) Ans=m^n\prod (1-\frac 1{p_i^n}) Ans=mn∏(1−pin1)，就可以扔掉 μ \mu μ，复杂度 O ( m log ⁡ n ) O(\sqrt m\log n) O(m logn)

C o d e Code Code

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;LL n,m,res,inv;
inline LL ksm(LL x,LL y)
{LL res=1;for(;y;y>>=1,x*=x) if(y&1) res*=x;return res;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);inv=m;res=1;for(LL i=2;i*i<=m;i++)if(m%i==0){res*=ksm(i,n)-1;inv/=i;do{m/=i;}while(m%i==0);}if(m!=1) res*=ksm(m,n)-1,inv/=m;res*=ksm(inv,n);printf("%lld",res);
}