旋转矩阵公式生成器_坐标变换(8)—复特征值与旋转

2024-05-30 05:48:59

1.共轭复特征值

设

是

的实矩阵，

假设

是

的特征值，

为

对应的特征向量，则

同样是

的特征值，而

是对应的特征向量，

所以，当

是

的实矩阵，它的复特征值以共轭复数对出现。

2. rotation-scaling matrix

假如

,

为实数，且不同时为0，则将下面的矩阵称为

rotation-scaling matrix，

则有，

A可以写成下面的旋转+缩放形式，

其中，

，则

先旋转

，再倍乘

。 2.

的特征值为

。

3. 矩阵的复特征值

首先我们假定下面的记号，

这里首先讨论的矩阵是

的实矩阵，且矩阵有复特征值

，而与特征值相对应的特征向量为

，

这时候有个很漂亮的结论

，其中

其中

矩阵为rotation-scaling matrix。

为了证明矩阵

的分解公式成立，我们首先证明

是可逆的，即

和

是线性无关的。用反证法，假设

和

是线性相关的，则存在

，使得，

，则

依然是属于特征值

的特征向量，而从式(5)可以得到

是个实向量，而对于一个实矩阵的实特征向量对应的特征值一定是实的，但是和

是复特征根矛盾，因此可证

和

是线性无关的。

此外，我们假设复特征值

，同时对应的特征向量为

，则有，

同时，

比较式(6)和(7)，可以得到，

接下来我们计算

，和

，由(4)式可以马上得到

,

(

自然基取对应的列)，则有

因为

和

的线性无关的，可以组成

的基，对于任意的向量

，

，则有，

因此

。对于

的带有rotation-scaling matrix的分解，我们可以这么理解，

中含有旋转和比例变换，矩阵

提供了变量代换，如

。

的作用相当于先将

代换为

，然后在

所形成的基下利用

矩阵进行旋转和缩放，旋转产生一个椭圆，然后将

再变量代换回

。注意，旋转是在

所形成的基下，

即顺着

和

所形成的基旋转

。

对于

矩阵，都有类似上述

矩阵的分解形式，下面以

为列，如果矩阵

有一个实的特征值

，一个复特征值

，则

为另外一个复特征值，

对应的实特征向量为

，

对应的复特征向量为

，将

分解为

,

对于上述矩阵

，在

中存在某个平面

对平面的作用是旋转和缩放，该平面在

的作用下是

不变的。举一个例子，例如，

上述矩阵

与式(11)中的矩阵形式相同，如下图所示，对于

平面(第三坐标为0)的任一向量

被

旋转到该平面的另外一个位置上，不在该平面的任一向量

的第三坐标乘1.07。下图显示了

和

被

作用的迭代结果，

在

平面旋转，而

在

乘1.07后在旋转的同时也在盘旋上升。

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