关于sinX与y的大小比较取值范围计算

@(概率论)

在求分布函数的时候，常常有已知XX的分布函数求Y=g(X)Y=g(X)的分布函数类型。往往不小心就会计算出错误的范围，从而导致分布函数求错。

比如：X∈[0,π]X \in [0,\pi]

则sinX≤ysinX \leq y的范围是什么？

注意，在概率论中常常用大写字母表示变量，小写字母表示取值。

有两个角度的思考，根据sinXsinX的图像推导：

可知两个交点是：X=arcsiny,π−arcsinyX = arcsiny, \pi-arcsiny

那么再根据图像可知取值范围是：X∈[0,arcsiny]∪[π−arcsiny,π]X \in[0,arcsiny] \cup [\pi-arcsiny,\pi]

这种思路很清晰明确且不易出错。

但当熟悉反函数的图像时：X=arcsinyX = arcsiny

因为反函数是个函数，也是一一映射，所以不能反映[π2,π][\frac{\pi}{2},\pi]上的取值，因此，不可以直接化为X≤arcsinyX \leq arcsiny.

简单说就是，sinx在R上并没有反函数，需要限定取值范围才可以。这里可以分成x∈[0,π2]∪[π2,π]x\in[0,\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},\pi]两部分讨论，但是没有直接在sinX的图像上研究更容易把握。

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