动态规划套路解决戳气球问题

题目

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。
求所能获得硬币的最大数量。

说明

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

示例

输入: [3,1,5,8]
输出: 167
解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167

解法

这道题没有什么奇淫巧技，刚开始很多人都会想到列举数组的全排列，然后求最大值，这种方法的复杂度会随着数组元素增加而呈指数级增长，因此不可取。

本题我们将使用动态规划来解决。

1.将下标为-1和n的元素加入新数组point中，并将nums拷贝到新数组，此时新数组大小为nums.length+2;

2.既然要我们戳破所有气球能获得的最大硬币数，那么可以规定数组dp，其中dp[i][j]代表戳破(i,j)范围内的所有气球(不包含i,j)能获得的最大硬币数，并算出推导公式;

3.推导公式：dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j] + point[i]*point[k]*point[j]，dp[i][k]表示戳破(i,k)范围内所有气球获得的最大金币，dp[k][j] 表示戳破(k,j)范围内所有气球获得的最大金币，point[i]*point[k]*point[j]表示最后戳破k气球获得金币；

4.遍历顺序：因为dp[i][j] 依赖于 dp[i][k] 和 dp[k][j]的值，而dp[i][k] 在其左边，dp[k][j]在其下边，如图
所以我们采用从下往上、从左往右的遍历方法，代码如下：

class Solution {//动态规划法public int maxCoins(int[] nums) {int numLength = nums.length;//将-1和n+1下标元素加入数   组，创建新数组存储int[] point = new int[numLength+2];//给下标-1和n+1下标元素赋值point[0] = 1;point[numLength+1] = 1;//将nums数组拷贝到point数组for (int i=1;i<numLength+1;i++) {point[i] = nums[i-1];}//dp[i][j] 代表 戳破i~j之间的气球(不包含i,j)获得的最大金币int[][] dp = new int[numLength+2][numLength+2];//确定i,j的遍历顺序和方向//二维数组从下到上、从左到右遍历，确保dp[i][k]和dp[k][j]有值for (int i=numLength;i>=0;i--) {for (int j=i+1;j<=numLength+1;j++) {//逐个k尝试，找出使dp[i][j]最大的k值for (int k=i+1;k<=j-1;k++) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][k] + dp[k][j] + point[i]*point[k]*point[j],dp[i][j]);}}}//戳破0~numLength+1之间的气球，就是nums数组中全部气球return dp[0][numLength+1];}
}

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