[问题2014S13]  解答

(1) 先证必要性：若 \(A=LU\) 是 非异阵 \(A\) 的 \(LU\) 分解，则 \(L\) 是主对角元全部等于 1 的下三角阵，\(U\) 是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知 \[|A_k|=|L_k|\cdot|U_k|=|U_k|\neq 0,\,\,k=1,2,\cdots,n,\] 其中 \(|A_k|,|L_k|,|U_k|\) 分别表示 \(A,L,U\) 的第 \(k\) 个顺序主子式.

再证充分性以及分解的唯一性：我们对 \(A\) 的阶数 \(n\) 进行归纳. \(n=1\) 时, 结论显然成立. 设阶数 \(<n\) 时, 结论成立. 注意到 \(A\) 的第 \(n-1\) 个顺序主子阵 \(A_{n-1}\) 满足条件: 它的 \(n-1\) 个顺序主子式全部非零，故由归纳假设，\(A_{n-1}\) 存在唯一的 \(LU\) 分解：\[A_{n-1}=L_{n-1}U_{n-1},\] 其中 \(L_{n-1}\) 是主对角元全部等于 1 的 \(n-1\) 阶下三角阵，\(U_{n-1}\) 是主对角元全部非零的 \(n-1\) 阶上三角阵. 设 \[A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \beta' & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\ x' & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U_{n-1} & y \\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1}U_{n-1} & L_{n-1}y \\ x'U_{n-1} & x'y+z \end{bmatrix},\] 其中 \(\alpha,\beta,x,y\) 为 \(n-1\) 维列向量, \(z\) 为数. 由此可得：\[ \alpha=L_{n-1}y,\,\, \beta'=x'U_{n-1},\,\,a_{nn}=x'y+z.\] 因为 \(L_{n-1},U_{n-1}\) 为非异阵, 由上式可唯一解得：\[y=L_{n-1}^{-1}\alpha,\,\,x'=\beta'U_{n-1}^{-1},\,\,z=a_{nn}-\beta'U_{n-1}^{-1}L_{n-1}^{-1}\alpha=a_{nn}-\beta'A_{n-1}^{-1}\alpha.\] 令 \[L=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\ \beta'U_{n-1}^{-1} & 1 \end{bmatrix},\,\,U=\begin{bmatrix} U_{n-1} & L_{n-1}^{-1}\alpha \\ 0 & a_{nn}-\beta'A_{n-1}^{-1}\alpha \end{bmatrix},\] 则 \(A=LU\) 即为 \(A\) 的唯一的 \(LU\) 分解.

(2) 我们对 \(A\) 的阶数 \(n\) 进行归纳，来证明 Cholesky 分解的存在性和唯一性. \(n=1\) 时, 结论显然成立. 设阶数 \(<n\) 时, 结论成立. 注意到 \(A\) 的第 \(n-1\) 个顺序主子阵 \(A_{n-1}\) 也是正定实对称阵, 故由归纳假设，\(A_{n-1}\) 存在唯一的 Cholesky 分解：\[A_{n-1}=C_{n-1}'C_{n-1},\] 其中 \(C_{n-1}\) 是主对角元全大于零的 \(n-1\) 阶上三角阵. 设 \[A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \alpha' & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C'_{n-1} & 0 \\ x' & y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_{n-1} & x \\ 0 & y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_{n-1}'C_{n-1} & C_{n-1}'x \\ x'C_{n-1} & x'x+y^2 \end{bmatrix},\] 其中 \(\alpha,\beta,x\) 为 \(n-1\) 维列向量, \(y\) 为数. 由此可得：\[ \alpha=C_{n-1}'x,\,\,a_{nn}=x'x+y^2.\] 由上式可唯一解得：\[x=(C_{n-1}')^{-1}\alpha,\]\[y^2=a_{nn}-\alpha'C_{n-1}^{-1}(C_{n-1}')^{-1}\alpha=a_{nn}-\alpha'A_{n-1}^{-1}\alpha=\frac{|A|}{|A_{n-1}|}>0,\,\,y=\sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}}.\] 令 \[C=\begin{bmatrix} C_{n-1} & (C_{n-1}')^{-1}\alpha \\ 0 & \sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}} \end{bmatrix},\] 则 \(A=C'C\) 即为 \(A\) 的唯一的 Cholesky 分解.  \(\Box\)