动态规划实现矩阵连乘

动态规划实现矩阵连乘积：

用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
1.分析最优解结构：
设计求解具体问题的动态规划算法的第一步是刻画该问题的最优解结构特征。首先，为方便起见，将矩阵连乘积Ai...Aj
简记为A[i:j]。考查A[1:n]的最优计算次序。设这个最优计算次序在矩阵Ak和A(k+1)之间将矩阵链断开，1<=k<n,则其对应的
完全加括号方式为((A1...Ak)(A(k+1)...An))。即依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n]，然后将计算结果相乘得到A[1:n]。依
此计算次序，总共计算量为A[1:k]的计算量加上A[k+1:n]的计算量，再加上A[1:k]和A[k+1:n]相乘的计算量。

2.建立递归关系
对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1<=i<=j<=n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，则原问题的最优值为m[1][n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i][j]=0，i=1,2,...,n。
当i<j时，可利用最优子结构性质计算m[i][j]。事实上，若计算A[i:j]的最优次序在Ak和A(k+1)之间断开，i<=k<j，则m[i][j]=
m[i][k]+m[k+1][j]+p(i-1)*pk*pj。由于在计算时并不知道断开点k的位置，所以k还未确定。不过k的位置只有j-i一种可能，
就是使计算量达到最小的那个位置。也就是说m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p(i-1)*pk*pj。递归地有s[i][j]构造出相应的最优解。

输入参数{p0,p1,...,pn}存储于数组p中，算法除了输出最优值数组m外还输出记录最优断开位置的数组s。

例：要计算矩阵连乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别为：
A1 A2 A3 A4 A5 A6
30*35 35*15 15*5 5*10 10*20 20*25

#include<stdio.h>#define MaxSize 10void Print(int(*m)[MaxSize], int n)
{for (int i = 1; i <= n; i++){printf("%d\t", i);}for (int i = 1; i <= n; i++){printf("\n%d：", i);for (int j = 1; j <= n; j++){printf("%d\t", m[i][j]);}}printf("\n");
}void MatrixChain(int n, int *p, int (*m)[MaxSize], int (*s)[MaxSize])
{for (int r = 2; r <= n; r++){for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++){int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}
}void TraceBack(int(*s)[MaxSize], int i, int j)
{if (i == j){}else{TraceBack(s, i, s[i][j]);TraceBack(s, s[i][j] + 1, j);printf("Multiply (A%d and A%d)，断开位置是:%d\n",i, j,s[i][j]);}return;
}int main()
{int start = 0, end = 0;int p[] = {30,35,15,5,10,20,25};int m[MaxSize][MaxSize] = {};int s[MaxSize][MaxSize] = {};int n = sizeof(p) / sizeof(p[0])-1;MatrixChain(n ,p, m, s);printf("打印m数组:\n   ");Print(m, n);printf("打印s数组:\n   ");Print(s, n);printf("请输入矩阵连乘的起始位置和终止位置：");scanf_s("%d %d",&start,&end);printf("矩阵连乘从%d开始，到%d结束：\n",start,end);TraceBack(s, start, end);return 0;}

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