4570: [Scoi2016]妖怪

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Description

邱老师是妖怪爱好者，他有n只妖怪，每只妖怪有攻击力atk和防御力dnf两种属性。邱老师立志成为妖怪大师，于

是他从真新镇出发，踏上未知的旅途，见识不同的风景。环境对妖怪的战斗力有很大影响，在某种环境中，妖怪可

以降低自己k×a点攻击力，提升k×b点防御力或者，提升自己k×a点攻击力，降低k×b点防御力，a，b属于正实数

，k为任意实数，但是atk和dnf必须始终非负。妖怪在环境(a,b)中的战斗力为妖怪在该种环境中能达到的最大攻击

力和最大防御力之和。strength(a,b)=max(atk(a,b))+max(dnf(a,b))环境由a，b两个参数定义，a，b的含义见前

文描述。比如当前环境a=3，b=2，那么攻击力为6，防御力为2的妖怪，能达到的最大攻击力为9，最大防御力为6。

所以该妖怪在a=3，b=2的环境下战斗力为15。因此，在不同的环境，战斗力最强的妖怪可能发生变化。作为一名优

秀的妖怪训练师，邱老师想发掘每一只妖怪的最大潜力，他想知道在最为不利的情况下，他的n只妖怪能够达到的

最强战斗力值，即存在一组正实数(a,b)使得n只妖怪在该环境下最强战斗力最低。

Input

第一行一个n，表示有n只妖怪。接下来n行，每行两个整数atk和dnf，表示妖怪的攻击力和防御力。

1≤n≤10^6, 0＜atk,dnf≤10^8

Output

输出在最不利情况下最强妖怪的战斗力值，保留4位小数。

Sample Input

3
1 1
1 2
2 2

Sample Output

8.0000

HINT

Source

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很容易想到二分答案，然后所有妖怪列一个一元二次不等式，看解集的交集是否为空

但这样会TLE。。。。GG

可以把每只妖怪放到二维平面上形成一个点(x,y)，过它作一条斜率＜0的直线

这样截距和就是某个(a,b)状态下的战斗力了，斜率为-b/a时

对所有点求一个凸包，最大值肯定只出现在凸包右上部分

直接枚举那一块就好了，每个点有个斜率的范围，在这个范围内它都是战力最大的

简单的数学推导可以知道，点(x,y)在斜率为k时的战力为x + y - k*x - y/k >= x + y + 2*sqrt(x*y)

要注意这个斜率能否取到，，如果可以就是这个值，否则是与前后点的斜率其中一个

毕竟这是个长得很像打钩函数的函数，，也可以求导证明

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
using namespace std;const int maxn = 1E6 + 10;
typedef long long LL;
typedef double DB;
const DB INF = 1E10;
const DB eps = 1E-9;struct Point{int x,y; Point(){}Point(int x,int y): x(x),y(y){}bool operator < (const Point &B) const {if (x < B.x) return 1;if (x > B.x) return 0;return y < B.y;}Point operator - (const Point &B){return Point(x - B.x,y - B.y);}
}p[maxn],s[maxn*2];
typedef Point Vector;int n,tp;
DB Ans = 1E16;LL Cross(const Vector &v1,const Vector &v2) {return 1LL*v1.x*v2.y - 1LL*v2.x*v1.y;}
bool Equal(const DB &x,const DB &y) {return fabs(x - y) <= eps;}
bool fcmp(const DB &x,const DB &y) {return x > y || Equal(x,y);}DB slope(Point p1,Point p2)
{Point p = p2 - p1;return Equal(p.x,0.000)?INF:(DB)(p.y)/(DB)(p.x);
}void Work(DB K,Point p)
{if (fabs(K) < eps) return;DB x = p.x,y = p.y;Ans = min(Ans,x + y - K*x - y/K);
}int getint()
{char ch = getchar(); int ret = 0;while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();while ('0' <= ch && ch <= '9')ret = ret*10 + ch - '0',ch = getchar();return ret;
}int main()
{#ifdef DMCfreopen("DMC.txt","r",stdin);#elsefreopen("4570.in","r",stdin);freopen("4570.out","w",stdout);#endifn = getint();for (int i = 1; i <= n; i++){int x = getint(),y = getint();p[i] = Point(x,y);}sort(p + 1,p + n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++){while (tp > 1 && Cross(p[i] - s[tp-1],s[tp] - s[tp-1]) > 0) --tp;s[++tp] = p[i];}int k = tp;for (int i = n - 1; i; i--){while (tp > k && Cross(p[i] - s[tp-1],s[tp] - s[tp-1]) > 0) --tp;s[++tp] = p[i];}--tp; s[0] = s[tp]; s[tp+1] = s[1];if (tp == 1) Work(-sqrt((DB)(s[1].y)/(DB)(s[1].x)),s[1]);for (int i = k; i <= tp; i++){DB B = slope(s[i],s[i-1]),A = slope(s[i+1],s[i]);if (fcmp(A,0.000) && fcmp(B,0.000)) continue;if (B > A) B = -INF;DB K = -sqrt((DB)(s[i].y)/(DB)(s[i].x));if (B <= K && K <= A) Work(K,s[i]);else Work(A,s[i]),Work(B,s[i]);if (fcmp(A,0.000)) break;}printf("%.4f",Ans);return 0;
}