四元数——概念以及相关数学公式实现绕坐标轴旋转以及获取旋转角和旋转轴

四元数与复数

复数平面几何意义一个向量（2D）

复数做乘法几何上是一个新的向量向量旋转一定的角度（2D）

扩展到3D 3个虚部的复数四元数

[w (x y z)] = w+xi+yj+zk

i j k 的平方为-1 三个虚部

四元数与轴-角对

绕着任意旋转轴旋转任意角度

负四元数全部取反

单位四元数表示没有

四元数的模

模为1的四元数规范化的四元数

共轭

3d数学中使用的四元数模都为1 四元数的逆等于四元数的共轭旋转方向相反

四元数叉乘

四元数的旋转

P用q旋转 p用a b依次旋转如果不习惯ba顺序可以修改叉乘的计算方式（下图计算 w x y z 错误应该是

w = w1w2-x12-y1y2-z1z2

x = w1 x2 + x1w2 + z1y2 - y1z2

y = w1y2 + y1w2 + x1z2 - z1x2

z = w1z2 + z1w2+ y1x2 - x1y2）

四元数角位移四元数的差数学上四元数的除法

方位a 与方位b之间的夹角 d

旋转角的倍数 q旋转30 q的三分之一幂就是10度

#pragma once
#include "Vector3.h"
class Quaternion
{
public:float w, x, y, z;void Identify() { w = 1; x = 0;  y = 0; z = 0; } //单位四元数void setToRotateAboutX(float theta);void setToRotateAboutY(float theta);void setToRotateAboutZ(float theta);void setToRotateAboutAxis(const Vector3 &axis,float theta);float getRotationAngle() const;Vector3 getRotationAxis() const;
};extern const Quaternion kQuaternionIdentify;

#include "pch.h"
#include "Quaternion.h"
#include <math.h>
#include <assert.h>
#include "MathUtil.h"const Quaternion kQuaternionIdentify = { 1.0f,0.0f,0.0f,0.0f };void Quaternion::setToRotateAboutX(float theta)
{//计算半角float thetaOver2 = theta * 0.5f;//计算w w = cos(thetaOver2);x = sin(thetaOver2)*1;y = 0.0f;z = 0.0f;
}void Quaternion::setToRotateAboutY(float theta)
{//计算半角float thetaOver2 = theta * 0.5f;//计算w w = cos(thetaOver2);x = 0.0f;y = sin(thetaOver2) * 1;z = 0.0f;
}void Quaternion::setToRotateAboutZ(float theta)
{//计算半角float thetaOver2 = theta * 0.5f;//计算w w = cos(thetaOver2);x = 0.0f;y = 0.0f;z = sin(thetaOver2) * 1;
}void Quaternion::setToRotateAboutAxis(const Vector3 &axis, float theta)
{assert(fabs(VecMag(axis) - 1.0f) < 0.01f);float thetaOver2 = theta * 0.5f;float sinThetaOver2 = sin(thetaOver2);w = cos(thetaOver2);x = axis.x*sinThetaOver2;y = axis.y*sinThetaOver2;z = axis.z*sinThetaOver2;
}//四元数算出旋转角
float Quaternion::getRotationAngle() const
{//根据w 算出半角float thetaOver2 = safeAcos(w);return 2 * thetaOver2;
}//四元数算出旋转轴
Vector3 Quaternion::getRotationAxis() const
{float sinThetaOver2Sq = 1.0f - w * w;float sinThetaOver2 = sqrt(sinThetaOver2Sq);float oneOverSinThetaOver2 = 1 / sinThetaOver2;float nx = x* oneOverSinThetaOver2;float ny = y * oneOverSinThetaOver2;float nz = z* oneOverSinThetaOver2;return Vector3(nx,ny,nz);
}

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