矩阵分析与应用-16-广义逆矩阵

左逆矩阵与右逆矩阵

广义逆矩阵的定义及性质

广义逆矩阵的计算

矩阵的满秩分解算法

广义逆矩阵的计算

一致方程的最小范数解

非一致方程的最小二乘解

左逆矩阵与右逆矩阵

满足 $LA=I$ ，但不满足 $AL=I$ 的矩阵 $L$ 称为矩阵 $A$ 的左逆矩阵(left inverse)。

满足 $AR=I$ ，但不满足 $RA=L$ 的矩阵称为矩阵 $A$ 的右逆矩阵(right inverse)o

仅当 $m \leq n$ 时，矩阵 $A \in C^{m\times n}$ T可能有右逆矩阵。

广义逆矩阵的定义及性质

线性方程 $A_{m\times n}x_{n\times 1}=y_{m \times 1}$ 称为一致方程，若矩阵 $A$ 的行之间存在的线性关系也存在于向量 $y$ 的对应元素中。

令 $A$ 是一个m x n矩阵，具有任意秩。矩阵 $A$ 的广义逆矩阵是-个n x m矩阵G，并使得当 $Ax=y$ 为一致方程时， $x=Gy$ 是线性方程 $Ax=y$ 的解。

一致方程 $Ax=y$ 对y≠0有解 $x=Gy$ ，当且仅当AGA = A。

m × n矩阵A的广义逆矩阵是一个满足

$AA^-A=A$

的nx m矩阵 $A^-$ 。

m x n矩阵A的广义逆矩阵是满足下列条件之一的n × m 矩阵 $A^-$

(1) $A^-A$ 为幂等矩阵，且 rank(. $A^-A$ ) rank( $A$ ):

(2) $AA^-$ 是幂等矩阵，且rank( $AA^-$ ) =rank( $A$ )。

性质：

方程 $Ax=0$ 的解与矩阵 $A$ 的任意行正交，并且线性无关。

$A^{-}$ 存在 $\Leftrightarrow AA^-A=A$

定理1：一线性方程组可以求解，当且仅当这些方程为一致方程。

定理2：线性方程 $Ax=y$ 是一致的，当且仅当增广矩阵 $|A,y|$ 的秩等于矩阵 $A_{m\times n}$ 的秩，即 $rank(|A,y|)=rank(A)$ 。

广义逆矩阵的计算

令 $A_{m\times n}$ 具有秩r。若 $A=FG$ ，其中， $F_{m \times r}$ 的秩为r (满列秩矩阵)，且 $G_{r\times n}$ 的秩也为r(满行秩矩阵)，则称 $A=FG$ 为矩阵A的满秩分解(full-rank decomposition)。

一个秩为r的mx n矩阵A可以分解为

$A=K_{m\times r}L_{r\times n}$

式中，K和L分别具有满列秩和满行秩。

若矩阵 $A_{m\times n}$ 具有秩r，且其满秩分解为 $A=FG$ ，其中， $F_{m \times r}$ 为满列秩 $G_{r\times n}$ 为满行秩，则

$A^{-}=G^T(F^TAG^T)^{-1}F^T$

是 $A$ 的一个广义逆矩阵。

矩阵的满秩分解算法

1.利用行初等变换将矩阵A化为阶梯型

$A\xrightarrow[E_1]{}[]\xrightarrow[E_2]{}...\xrightarrow[E_k]{}\begin{bmatrix} G_{r\times n}\\ O_{(m-r)\times n} \end{bmatrix}$

2.对单位矩阵执行逆行初等变换,得到逆矩阵

$I\xrightarrow[E_k^{-1}]{}[ ]\xrightarrow[E_{k-1}^{-1}]{}....\xrightarrow[E_1^{-1}]{}[]=P^{-1}$

3.利用逆矩阵 $P^{-1}$ 的前r列构造矩阵F。

4.书写满秩分解结果 $A=FG$ 。

广义逆矩阵的计算

1.计算矩阵 $A_{m\times n}$ 的满秩分解 $A=FG$ 。

2.求广义逆矩阵 $A^{-}=G^T(F^TAG^T)^{-1}F^T$ 。

一致方程的最小范数解

令n x m 矩阵 $A^-$ 是m×n矩阵 $A$ 的任意一个广义逆矩阵，则

(1)齐次方程 $Ax=0$ 的一个通解为 $x=(I-A^-A)z$ ,其中，z是n×1任意向量。

(2非齐次方程 $Ax=y$ 为-致方程的充分必要条件是

$AA^-y=y$

(3）非齐次方程Aa = g 的一个通解为

$x=A^-y+(I-A^-A)z$

式中，z为n×1任意向量。

伴随矩阵具有以下性质

（1） $(A^\#)^\#=A$

（2） $(AB)^\#=B^\#A^\#$

（3） $<Ax,By>=0,\forall x,y\Leftrightarrow A^\#B=O$

（4） $A^\#=A^T$ (若A为实矩阵)或 $A^\#=A^H$ (若A为复矩阵)

$Cy$ 是一致方程 $Ax=y$ 的最小范数解，当且仅当

$AGA=A,(GA)^\#=GA$

非一致方程的最小二乘解

令G是某个矩阵，则 $\hat{x}=Gy$ 是非一致方程 $Ax=y$ 的最小二乘解，当且仅当

$A^\#AG=A^\#$

或

$AGA=A,(AG)^\#=AG$